Introducing Bernoulli Integral For Solving Some Physical Problems

Some of both modeling and problems in physics have been commonly presented in a first-order nonlinear differential equations (DE) of constant coefficients. Because the DE are integrable, therefore one must have an integral formulation for solving the physical problems. This paper introduces Bernoulli integral to complete the Tables of Integral for all of the Mathematical Handbooks.

Basically, the Bernoulli integral is integral form of the homogeneous Bernoulli differential equation (BDE) of constant coefficients. Under proper transformation, the Bernoulli integral can be used to generate another integral formulation especially for integrals that can be transformed into arctangent DE. By using the Bernoulli integral, one can create its self the integral formulation of solving the physical problems, and hence reduces utilization the tables of integral. A special application in generating Euler formula also presented.

Introduction

Some of both modeling and problems in physics have been commonly presented in a first-order nonlinear differential equations (DE) of constant coefficients For instance, in designing electromagnetic apparatus [Markus,1979], the logistic growth process [Welner,2004], chaotic behavior [Barger et al,1995], the generation and propagation of soliton [Wu et al 2005],[Morales,2005], the transport of fluxon [Gonzile et al,2006], the generation of squeezed laser [Friberg,1996 ],etc. One requires Table of Integral to solve a specific integral for solving such differential equation [Spiegel,MR,1968]. To complete the Table of integral, we introduce Bernoulli integral that until now not including in both of the Table integral and mathematical Handbook. By using the Bernoulli integral, one can create the integral formulation required in solving the physical problems, and hence reduces utilization the Tables of integral.

Key-words : Arctangent, tangent, arctangent differential equation, Bernoulli equation, Bernoulli differential equation, integral, Bernoulli integral, Schrödinger equation, modulation instability, Euler formula, Argand diagram, electromagnetic, logistic growth, chaotic, soliton, fluxon, squeezed laser

For Detail

Visit http://rohedi.com or
Download Here

MORE .....

.....BACK

Fighting of the Cause of Allah by Governing a Smart Mathematics Based on Islamic Teology

Existence of the universe is reality evidence of supremacy and science fame of God Allah SWT. Inking seven of times water in all ocean world (even more) not enough to write down it. According to writer, mathematical model which representatively as stepping in developing the Islamic Scientific is arctangent differential equation

Eqs.(1)

which its exact solution is of the form:

Eqs.(2)

Because of writer looks into this arctangent differential equation is having the religion character
(according to writer that for a=1, b=1, and both of initial values t₀ = 0 dan y₀ = 0 the value of the tangent function at correspond to the Qidam and Baqa properties), hence solution yielded a solver technique entering religion factors must still appropriate to the exact solution

This paper introduces a new technique of solving a nonlinear first order ordinary differential equation so-called as SMT (stands for Stable Modulation Technique) which its solution is in the form of AF(A), that is a formula of modulation function which its amplitude term is also including in the phase function. The transfromation function applied for solving eq.(1) by using SMT is what gives its final solution in the form :

Eqs.(3)

The idea of developing this stable modulation technique based on the event of Isra' and Mi’raj of prophet Muhammad, which alongside its journey towards Sidhratulmuntaha guided by angel Jibril. Eqs.(3) assures writer that when mi’raj the energy of prophet Muhammad is transferred into the energy form of modulated wave. The fundamental aspect for developing of modern mathematics and computing is obtained when to = 0, yo = 0, a = 0 dan b = 0 where eq.(3) then reduces to the form :

Eqs .(4)

Eqs.(4) as a representative form of tangent function up to now has not been met in Mathematics Handbook, because the only

Eqs .(5)

But both of eq.(4) and eq.(5) are still giving the same value with the value of tan(t) for all values of t except at t = pi / 2 in eq.(4) and at t = pi in eq.(5) which both giving value of 0/0, though value of tan(pi/2) = ~. In mathematics the value of 0/0 is unknown as commonly called as NaN (stands for Not a Number). The value of ~ is still not obtaining from eq.(4) and eq.(5), even if has been performed the limit operation because it is only giving devide by zero:

Eqs .(6)

At presentation of the exact solution of arctangent differential equation brightens the confidence of writer that during journey Isra', angel Jibril telling the exact properties of God, while during journey Mi’raj of prophet Muhammad is supplied by a stabilization of believe that God doesn't spell out members as apparently at 0/0, and man will never can reach God will desire, as apparently at 1/0. The primary message is that mathematics applied as "approach" properly in the effort of explaining the Sunnatullah, and don't make mathematics as a justification tool.

Keywords : Jihad, Isra’ Mi’raj, Prophet Muhammad, Angel Jibril, mathematics, arctangent, arctangent differential equation, tangent function, NaN (0/0), devide by zero (1/0), sunnatullah

For Detail

Visit http://rohedi.com or
Download Here

MORE .....

.....BACK

Berjihad Di Jalan Allah Dengan Membangun Matematika Cerdas Berbasis Teologi Islam

Keberadaan alam semesta merupakan bukti nyata keagungan dan kemasyhuran ilmu Allah S.W.T. Tinta sebanyak tujuh kali air di seluruh lautan duniapun (bahkan lebih) tidaklah cukup untuk menuliskannya. Menurut penulis, model matematik yang representatif sebagai pijakan dalam mengembangkan Sains Islam adalah persamaan diferensial (PD) arctangent:

pers (1)

yang solusi eksaknya berbentuk:

pers. (2)

Oleh karena penulis memandang PD arctangent ini merupakan persamaan diferensial yang bersifat religi (menurut penulis bahwa untuk a=1, b=1, serta nilai awal t₀ = 0 dan y₀ = 0 nilai fungsi tangent pada mensyiratkan sifat Qidam dan Baqa), maka solusi yang dihasilkan suatu teknik pemecah persamaan diferensial yang memasukkan faktor-faktor religipun semestinya tetap sesuai dengan solusi eksaknya.

Pada makalah ini diperkenalkan Teknik Modulasi Stabil (SMT=Stable Modulation Technique) sebuah teknik baru pemecah persamaan diferensial nonlinear berderajad satu yang solusinya berbentuk AF(A), yaitu suatu formula gelombang termodulasi yang suku amplitudonya juga terlingkup dalam fungsi fasanya. Fungsi transformasi untuk pemecahan Pers.(1) dengan SMT adalah yang memberikan bentuk solusi akhir:

pers.(3)

Ide pengembangan teknik modulasi stabil ini didasarkan pada peristiwa Isra’ dan Mi’raj nabi Muhammad, yang di sepanjang perjalanannya menuju Sidhratulmuntaha dibimbing oleh malaikat Jibril. Pers.(3) meyakinkan penulis bahwa saat bermi’raj energi nabi Muhammad ditransfer ke dalam bentuk energi gelombang termodulasi. Hal fundamental bagi pengembangan matematika dan komputasi modern diperoleh ketika to = 0, yo = 0, a = 0 dan b = 0 Pers.(3) tereduksi ke dalam bentuk:

pers.(4)

Pers.(4) sebagai bentuk representatif dari fungsi tan(t) hingga kini belum dijumpai dalam Handbook Matematika manapun, karena yang ada hanyalah

pers.(5)

Namun kedua Pers.(4) dan Pers.(5) tepat

memberikan nilai yang sama dengan nilai fungsi tan(t) untuk semua nilai t kecuali di t = pi / 2 untuk Pers.(4) dan di t = pi untuk Pers.(5) yang keduanya memberi nilai 0/0, padahal nilai tan(pi/2) = tak hingga. Dalam matematika nilai tersebut tidak dikenal, karena itu lazim disebut NaN (Not a Number) alias bukan bilangan. Nilai tak hingga untuk tan(pi/2) tetap tidak diperoleh dari Pers.(4) dan Pers.(5) sekalipun telah dikenakan operasi limit, karena hanya memberikan nilai devide by zero:

pers.(6)

Paparan solusi eksak PD arctangent di atas mencerahkan keyakinan penulis bahwa selama perjalanan Isra’ malaikat Jibril mengumandangkan sifat haq (sifat exact) Allah, sedangkan selama perjalanan bermi’raj nabi Muhammad dibekali pemantapan iman bahwa Allah tidak berbilang yang terepresentasi pada 0/0, dan manusia tidak akan pernah dapat menjangkau kehendak Allah sebagaimana terepresentasi pada 1/0. Pesan utamanya adalah bahwa matematika seyogyanya digunakan sebagai “pendekatan” secara benar dalam upaya menerangkan Sunnatullah, dan jangan jadikan pula matematika sebagai alat penjustifikasi.

Kata Kunci : Jihad, Isra’ Mi’raj, Nabi Muhammad, Malaikat Jibril, matematika, arctangent, PD arctangent, fungsi tangent, NaN (0/0), devide by zero (1/0), Tuhan takberbilang, sunnatullah

For Detail :

Visit http://rohedi.com or
Download Here

MORE .....

.....BACK

Anti Einstein Technique : Analytic Solution of Nonlinear Schrödinger Equation by Means of A New Approach

The nonlinear Schrödinger equation (NSE) has served as the governing equation of optical soliton in the study of its applications to optical communication and optical switching. Various schemes have been employed for the solution of this nonlinear equation as well as its variants. We report in this paper a relatively simpler new approach for the analytic solution of NSE. In this scheme the equation was first transformed into an arctangent differential equation, which was then separated into the linear and nonlinear parts, with the linear part solved in a straight forward manner. The solution of the nonlinear equation was written in the form of modulation function characterized by its amplitude function A and phase function F(A). Substituting the linear solution for A, the arctangent differential equation was solved for a certain initial value of A. It is shown that this method is applicable to other first-order nonlinear differential equation such as the Korteweg de Vries equation (KdV), which can be transformed into an arctangent differential equation.

I. Introduction

The phenomenon of the solitary wave propagation was observed for the first time by the Scottish scientist John Scott Russell in 1844, when one day he was watching water waves of a certain shape kept on traveling without changing their shape for a distance as far as his eye could see. To explain the behavior of such unusual wave, Korteweg and de Vries governed a model for the wave propagation in shallow water in form a partial differential equation called as KdV differential equation, which its solution appropriates to the features of the solitary wave called as soliton[1]. The existence of solitons in optical fiber was predicted by Zakarov and Zabat (1972) after they derived a differential equation for the light propagating in an optical fiber, that demonstrated later by Hazagawa in 1973 at Bell Laboratory. Next, Mollenauer and Stolen employed the solitons in optical fiber for generating subpicosecond pulses.

Keywords : nonlinear Schrödinger equation, KdV, arctangent, Anti Einstein Technique

For Detail :

Visit http://rohedi.com or
Download Here

MORE .....

.....BACK

Anti Einstein Technique : Analytic Solution of Nonlinear Schrödinger Equation by Means of A New Approach (Indonesia)

Persamaan Schrödinger Nonlinear (NSE) bertindak sebagai solusi optik dalam studi aplikasi komunikasi optik dan switch optik. Berbagai usaha telah dilakukan untuk mencari penyelesaian dari persamaan non linier ini seperti halnya terhadap variannya. Pada tulisan ini kita berikan suatu pendekatan yang relatif lebih sederhana mudah dan baru mengenai penyelesaian persamaananalitik dari NSE. Di rencana ini persamaan yang pertama diubah ke dalam suatu persamaan arctangent yang diferensial, yang kemudian dipisahkan ke dalam linier dan nonlinear , dengan bagian yang linier memecahkan suatu cara lurus kedepan. Solusi dari persamaan nonlinear ditulis dalam format dari fungsi modulasi ditandai oleh F(A fungsi fase dan A fungsi amplitudo nya). menggantikan solusi yang linier untuk A, persamaan arctangent yang diferensial dipecahkan untuk suatu nilai awal yang tertentu dari A. Ditunjukkan bahwa metoda ini sesuai persamaan nonlinear orde 1 seperti persamaan Korteweg de Vries equation ( Kdv), yang dapat diubah ke dalam suatu penyamaan arctangent yang diferensial.

I. Introduction (pengenalan)

Peristiwa dari perambatan gelombang yang tunggal diamati untuk pertama kali oleh Scott Russell Yohanes ilmuwan Scottish di 1844, ketika suatu hari ia sedang menyaksikan ombak air dari suatu bentuk yang tertentu yang disimpan ketika bepergian tanpa mengubah bentuknya untuk suatu jarak sejauh mata melihat. Untuk menjelaskan perilaku dari gelombang yang tidak biasa seperti itu, Korteweg de Vries membuat suatu model untuk perambatan gelombang di air yang dangkal seperti persamaan diferensial KdV, solusi nya seperti pada persamaan [1].

Keberadaan dari solitons di serabut yang berhubung dengan mata diramalkan oleh Zabat dan Zakarov ( 1972) setelah mereka memperoleh suatu persamaan diferensial untuk cahaya menyebarkan di suatu serabut optik, yang ditunjukkan kemudian oleh Hazagawa di 1973 pada Bell Laboratory. yang berikutnya, Stolen dan Mollenauer yang dipekerjakan solitons di serabut optik untuk membangkitkan denyut nadi subpicosecond.

Kata Kunci: nonlinear Schrödinger equation, KdV, arctangent, Anti Einstein Technique

MORE .....

.....BACK

Introducing Stable Modulation Technique for Solving an Inhomogeneous Bernoulli Differential Equation

The Bernoulli differential equation that has been used as primary modeling in many application branches commonly contains harmonic force function in the inhomogeneous term. The nhomogeneous Bernoulli differential equation (IBDE) is specified by nonlinearity of nth order. For instance, 3rd order IBDE is called a stochastic differential equation that has been commonly applied for describing the corrosion mechanism, the transport of fluxon, the generation of squeezed laser, etc. Due to the difficulty of applying a linearization procedure for IBDE, it has commonly been solved numerically. In this paper we introduced a so-called Stable Modulation Technique (SMT) which is able to solve a first order nonlinear differential equation that transformable into the homogeneous Bernoulli differential equation (BDE). SMT is employed by splitting BDE into linear and nonlinear parts. The solution of its nonlinear part has been found to be AF(A) where A is the initial value of nonlinear solution part and F is the modulation function whose phase is a function of A. The general solution of BDE obtained by substituting the linear solution part into initial value of the nonlinear solution part. Although IBDE can not be transformed into BDE completely, SMT gives nevertheless an approximation solution in AF(A) form, where the homogeneous solution part becomes its amplitude term. The AF(A) formula for stochastic differential equation with cosine function as inhomogeneous term can be decomposed as well into transient and steady state solutions. In addition, a special example of solving 2 ogeneous Bernoulli differential equation (BDE) has en used as a primary modeling scheme in many ation branches. A nonlinear BDE is specified by a nonlinearity of n. Although the stochastic differential equation is the first order differential equation, nevertheless the procedure of obtaining its analytical solution is very complicated as shown in utilizing of BWK (Brillouin, Wenzel, Kramer) and Reversion methods nd order BDE in creating a new Planck’s formula of black-body radiation is also presented.

Keywords–Stable modulation technique, modulation function, stochastic differential equation.

For Detail :

Visit http://rohedi.com or
Download Here

MORE .....

.....BACK

Analytical Solution Of The Ricatti Differential Equation For High Frequency Derived By Using The Stable Modulation Technique

The Ricatti differential equation dy/dt = P(t)y2+Q(t)y+R(t) is a nonlinear differential equation which is of contemporary interest in various fields, including particle dynamics, optics, and petroleum exploration. The Ricatti differential equation is easily solved by numerical methods. But in order to obtain the exact solution in analytical form, the first order of nonlinear inhomogeneous differential equation is commonly convert into a second order linear differential equation by use of a change of the dependent variable. In this paper we introduce the stable modulation technique (SMT) to solve the Ricatti differential equation without of the use linearization procedure. The main principle of the SMT in solving a first order nonlinear differential equation is modulate the solution of the linear part into the initial value of the nonlinear part solution. Important to be stressed here that the solution of nonlinear part must be written in the modulation function, where the initial value acts as amplitude and also including in the total phase shift. For a special case, dy/dt = -by2+ay+Acos(2πft) where a and b of both are constants, while t is variable of the time (in s), frequency f in Herzt (Hz) we find that the analytical solution of the SMT is appropriate with numerical solution espescially for high frequency f≥10 Hz, amplitude value A≤1, and initial value of the y in the range 0.1≤y0≤1. The analytical solution above can be used as trial function when the Ricatti differential equation will be solved by using combination of the modulational instability technique and variational approximation.

Keywords : Nonlinear inhomogeneous differential equation, linearization procedure, stable modulation technique, modulational instability

I. Introduction

The general form of the Ricatti differential equation (DE) is of the form :
dy/dt = P(t)y2+Q(t)y+R(t), .......................................(1)
where y and t are respectively dependent and independent variables, both of P(t) and Q(t) are homogeneous coefficients, where R(t) is the inhomogeneous term[1]. The Ricatti DE is mother of all ordinary differential equations (ODE’s) second order generating special functions like Airy, Bessel and etc,[2] even the Helmholtz equation[3] which has broad applications including optics and geophysics. Common procedure in solving the Ricatti DE is by transforming into a linear ODE second order[1],[2],[4]. For special case, the analytical exact solution of the Ricatti DE can not be obtained, because the analytical solution of the corresponding linear ODE second order is not available.

For Detail :

Visit http://rohedi.com or
Download Here

MORE .....

.....BACK

How can prove that zero equal zero (0=0) or (1=1)

Who want to know and solve this equation?
if anybody can solve this problem and explain this equation, maybe you the best on matematic

1 = 1
a = a
(a**2 - a**2) = (a**2 - a**2)

..........................................
..........................................
..........................................
the result must be 1 = 1 ,but
the result is 1 = 2

you can answer on comment at the sidebar

MORE .....

.....BACK

Komparasi Matematikanya Einstein Vs AF(A) Rohedi (Arabic Version)

omerrassikh14@hotmail.com: برید الكتروني

یعتبر ألبرت آینشتاین من أعظم العلماءفي ھذا القرن. بسببتلكالعظمة التي نالھا ھذا العالم فقدمجدهبعض
أتباعھبل و اعتبروهكنبي للعلوم. إن ھذا التمجیدلا یفُاجئَأحدا،فإذانظرنا إلىمسیرةجمیع العلماء الذین جاءوا من بعده
نجد أن شغلھم الشاغل كان في تفسیر و تبریرنظریتھَ. ذلكجدیر باحترامھذا العالم. لمِاذا ؟ لأنھ على نحو المستوى الرفیع
للعلِمِْ الحقیقي،ِفإنآینشتاینفي مسیرتھ الطویلة في مجال العلمنجدهقدخطىخْطُى واسعةبل نستطیع القول بأنھ ركض
( سعي كما في التعبیرِ العربيِ) ، ثمركب عربة تجرھا الأحصنةوبعد ذلك استقلھحافلةً.ھذا البیانِ لیَسَ بدون سبب، لأن في
سیاقِ الریاضیات،ِ مشكلة النسبیةِ الخاصةِّ لكِي تكَوُنَ شكلَ الاستغلالمِنْ نظریةِ فیثاغورس.ھنا تتجلى عظمة آینشتاین
الجدیر بالثناء بزیادتھُ في استغلالالنظریة بالتقریبذيالحدینِ التي لم یفكر بھا عالم من قبلھ. في الحقیقة، نسبیتھ الخاصةّ
(c) و التيتقتربمن سرعةَ الضوء (ν) طبقّتْ فقط على حركةِ الأجسام التي سرعت
طبقاً للمعادلة التفاضلیةِ اللاخطیّة،ِ نظریة التقریب ذاتالحدین التي طبقتْ مِن قبِل آینشتاین

والتي منھاتم التوصل للعلاقة
0التيأتاحةالمجال لبعض التقریبات و E = m c**2
،(Perturbation method) النظریات في حل المعادلة التفاضلیةِ اللاخطیّةِ. على سبیل المثال،نظریة الاضطراب
Floquent ،(Krylof and Bogoligof theorem) نظریة ،( Pocker-Planck approximation) تقریب
الخ. تلك النظریات استطاعتإلى حد ما في حلالمعادلة التفاضلیة المتجانسة اللاخطیّة.بینما في حالة .. method
المعادلة التفاضلیةاللامتجانسة اللاخطیّة فإنحلھا ما زالَ مَنْ الضَّروُري أَنْ یُختبَرَ.على سبیل المثال،حلمعادلة
على نحو عام فإنھا ملائمة فقط للحالة الثابتة. ،(stochastic resonances)
والرنین العشوائي (duffing oscillator)
نجد أن حلھا یقتصر فقط حتى الحد الثاني،كما یبدو فإن (Perturbation method) إذانظرنا إلى نظریة الاضطراب
الطریقة تكَوُنَ مستندة على الخطیةّ،ِ تليذلك خطوة قام بھاآینشتاین في حصر تعبیر الدالة إلى حدین فقط. لذلك یجب إعادة
النظر مرة أخرى في طرق ( نظریات)التقریب (مسألة الصندوق الأسود )التي تطرق إلیھا آینشتاین في نظریة النسبیة
العامة بعد فشلھفي الوصول لحل المعادلة التفاضلیة غیر التكاملیة خارج نطاق نظریة فیثاغورس.

في القریب العاجل سیتم التغلب على العقبات التي تواجھنا في إیجاد حل للمعادلات التفاضلیة اللاخطیّة بواسطة
.ROHEDI یدعى “maduresse physicist” ( تقنیة متطورة قد توصل إلیھا فیزیائي من أصل إندونیسي(مادوري
.(Stable Modulation Technique) اختصارا من SMT( أطلق على ھذه التقنیة الجدیدة أسم ( تقنیة التحویر المستقرةّ
التفاضلیة، ویعطى arc-tangent و معادلات ( Bernoulli ) تستند ھذه التقنیة الجدیدة على كل من معادلات برنو لي
لكي نكون صورة لكیفیة أداء ھذه الطریقة الجدیدة، على القارئ أن یتأمل في .AF(A) الحل لھذه التقنیة الجدیدة في صیغة
التفاضلیة في الأسفل.ستتضح لك إلي أي مدى stochastic و معادلات Ricatti الرسوم البیانیة لبع ض من معادلات
للرتبة Runge Kutha التي تمثل الحل الریاضي لآینشتاین ( ھنا (numerical method) استقرار الطریقة العددیة
.step-size الرابعة) الذي یعتمد بدرجة كبیرة على استعما

كموضوعأطروحةالدكتوراهبمشیئة و تحت إشرافاللهسبحانھ و SMT سیجعل كاتبھذهالتقنیة الجدیدة
. DIKTI تعالى برغم من المضایقات التي یواجھھا الكاتب من قبل إدارة التعلیم الأكادیمي
أملأن تكَوُن ھذهالمقالةمفیدة،
Rohedi الكاتب
 التفاضلیة Ricatti حَلّمعاد
f =20 Hz وعند تردد منخفض y0 = بقیمة ابتدائیة 0.1
step-size h = حل المعادلة باستخدام 0.1



step-size h = حل المعادلة باستخدام 0.05



step-size h = حل المعادلة باستخدام 0.01



التفاضلیة Stochastic حَلّمعاد
a
وعند تردد عاليبقیمة ابتدائیة

step-size h =حل المعادلة باستخدام 0.01



step-size h =حل المعادلة باستخدام 0.001




 التفاضلیة Stochastic حَلّمعاد
وعند تردد عاليبقیمة ابتدائیةa

step-size h =1 حل المعادلة باستخدا



step-size h = حل المعادلة باستخدام 0.1

MORE .....

.....BACK

Kunci Sains Dan Teknologi Ada Di Angka Kelahiran Republik Indonesia

Para visitor tentu ingat bahwa saat saya meluncurkan website rohedi.com kepada khalayak, artikel pertama yang saya tampilkan adalah info tentang formula analitik untuk polinomial orde positif sembarang versi saya. Pada artikel tersebut saya contohkan pula komparasi nilai sisa polinomial (remainder) antara rohedi’s formula dengan hasil hitungan perangkat lunak Matlab untuk polinomial orde 1060.

Remainder hitungan rohedi’s formula tetap konsisten dengan teori matematika yakni mendekati nol, sedangkan remainder hitungan Matlab sangat payah karena nilainya mendekati takberhingga. Walaupun demikian saya tidak terburu-buru mengklaim formula analitik yang saya miliki tersebut sebagai penemuan, karena disamping paper tentang formula digdaya itu belum saya publikasikan ke manca negara, juga karena saya masih ingin berbagi tip dengan sesama anak bangsa, siapa tahu ada diantara visitor yang brillian mendapatkannya, sehingga saya turut berbangga mengantarkan sang penemu meraih field medal yaitu gelar prestisius di bidang matamatika. Tak ayal lagi kelak Indonesia akan menjadi sentra New Science sebagaimana saya ilustrasikan pada rohedi.blogspot. Mengapa? karena saya akan sependapat dengan semua visitor, bahwa karya Profesor PTN dan PTS produk DIKTI tentu jauh lebih hebat dari karya ROHEDI yang hanya tamatan S2 dalam negeri.

Sebagaimana inspirasi untuk mendapatkan rohedi’s reversion sebagai teknik reversi baru dalam menyelesaikan persamaan diferensial biasa nonlinear dalam bentuk Maclaurin series (silahkan baca kembali artikel How to upgrade the running time of computer), untuk mendapatkan formula analitik polinomial orde sembarang dimaksud, sayapun terinspirasi akan ketajaman hati nurani para Pendiri Bangsa dalam menetapkan kelahiran RI (Republik Indonesia) tercinta ini pada 17–8–1945. Pada penyelesaian persamaan diferensial arctanget, ternyata angka-angka tanggal, bulan, dan tahun kelahiran RI tersebut termaktub dalam koefisien deret tangent function pada suku ke 8 (delapan) yakni Perlu visitor ketahui bahwa tangent function dan arctangent merupakan fungsi trigonometri yang perannya amat vital dalam pemecahan problem integral dan persamaan diferensial secara analitik sebagaimana saya jelaskan dalam artikel surat ke KAMINDO (Komisi Ahli Matematika Analisis Indonesia). Semoga pernyataan saya tidak salah kalau Angka Kelahiran RI tersebut merupakan representasi visi akademis para Pendiri Bangsa yang harus diwujudkan oleh siapapun yang memimpin bangsa ini melalui misi-misi pencerdasan bangsa yang harus ditargetkan selama masa kepemimpinannya. Namun sayang, baru 45 tahun pasca kemerdekaan bangsa kita, sistem pendidikan di Indonesia berjalan tanpa arah yang jelas, itupun dengan punguatan biaya pendidikan yang sangat mencekik. Semoga pula surat tersebut sampai ke KAMINDO setelah saya berpulang ke rahmatullah, demikian pula jumlah suku deret tangent function hasil hitung tangan saya dalam isi surat tersebut tidak tercium oleh pengelola musium rekor Indonesia (MURI) sebagai rekor jumlah suku terbanyak yang dapat dicapai anak bangsa Indonesia (bahkan mungkin di dunia). Mengapa? karena mempertanggungjawabkan langkah perumusannya di depan mereka, berarti membuka rahasia teknik reversi baru tersebut, yang tentu saja akan menghilangkan kesempatan saya untuk mematenkan teknik smart tersebut di lembaga PATEN USA sebagai lembaga Paten terpercaya hingga saat ini. Begitu nomor PATEN itu keluar, copy right dari teknik smart pemecah persamaan diferensial nonlinear tersebut akan saya lego dengan harga yang sangat fantantis, yaitu Rp. 100 T. Semoga jerih payah rumus sakti yang saya niatkan untuk mengentaskan kaum Duafa (Fakir miskin dan orang terlantar) serta membahagiakan Anak Yatim Piatu itu segera terwujud

Keterangan lebih lanjut kunjungi http://rohedi.com

MORE .....

.....BACK

Komparasi Matematikanya Einstein Vs AF(A) Rohedi

Albert Einstein adalah ilmuwan terbesar sepanjang sejarah. Saking hebatnya sampai-sampai beliau ditasbihkan oleh para pemujanya sebagai prophet of siences. Karena itu tidak mengherankan kalau kiprah seluruh ilmuwan lainnya dianggap hanya sebagai penjustifikasi terhadap teori-teori yang telah ditelorkannya. Masya Allah, sungguh penobatan ini sangat berlebihan. Mengapa?

ya karena dalam menuju singgasana sains yang sangat prestisius tersebut, Pak Einstein tidak berjalan kaki sembari ber“sai“ atau berlari-lari kecil, melainkan terlebih dahulu naik delman segitiga Phytagoras kemudian menumpang bus binomial. Pernyataan ini bukannya tanpa alasan, karena dalam kontek matematika, persoalan relativitas khusus merupakan bentuk ekploitasi hukum Phytagoras. Kehebatan Pak Einstein yang patut diacungkan jempol adalah terletak pada kejelian beliau memanfaatkan pendekatan binomial yang sama sekali tak terfikirkan oleh ilmuwan lain sebayanya. Faktanya relativitas khusus tersebut berlaku hanya untuk pergerakan partikel yang kecepatannya (v) mendekati kecepatan cahaya (c)

Keterangan lebih lanjut kunjungi http://rohedi.com

MORE .....

.....BACK

Fenomenal Invention in End the Year 2006

Penemuan yang dimaksudkan pada judul tulisan ini tidak berhubungan dengan tengara polisi akan keterlibatan sindikat narkoba dibalik kematian selebritis Alda Risma. Juga tidak berhubungan dengan pengakuan YZ mantan anggota DPR pusat tentang motif dibalik penyebaran gambar ”mesum hubungan intimnya” dengan penyanyi dangdut ME, apalagi berhubungan dengan nuasa kepuasan mendalam yang tersirat dari wajah beberapa pegawai di salah satu PEMDA di Jawa Barat, manakala mereka beramai-ramai melihat komputer yang memuat gambar ”harta karun” rekan wanita sekantornya.

Esensi penemuan ini justru berkaitan erat dengan upaya mendapatkan formula racikan beberapa bahan kimia kelompok G yang aman dikonsumsi masyarakat, serta teknologi pembuatan chip optik-elektronik yang menjadi pengendali proses penyaluran informasi pada handpone dan pemerosesan data di dalam komputer. Andai mereka sempat merenungkan betapa mulianya tujuan para periset dan pengembang chip yang menjadi otak dari handpone dan komputer itu, barangkali para sindikat narkoba dan penyebar gambar porno akan berpikir dua kali untuk menyalahgunakan kedua produk teknologi tinggi tersebut. Lantas mengapa penyalahgunaan ini sedemikian mudah dilakukan?, para pembaca harap bersabar sejenak, karena penulis akan memaparkan salah satu penyebabnya di akhir tulisan ini.

Penemuan fenomenal yang penulis maksudkan berupa teknik baru pemecahan persamaan diferensial nonlinear. Masyarakat umum tentu awam terhadap istilah persamaan diferensial ini, tetapi penulis juga meyakini bahwa tidak semua mahasiswa dan dosen di perguruan tinggi yang mengenal betul bentuk persamaan diferensial nonlinear tersebut. Hal ini karena materi kuliah di perguruan tinggi umumnya di seputaran persamaan diferensial linear. Karena itu para pembaca pastilah mengira kalau penulispun kebingungan tentang bagaimana cara menyampaikan berita baik ini kepada khalayak, agar penemuan yang menurut keyakinan penulis Insya Allah bakal ”mengibarkan merah putih” di manca negara itu dapat membanggakan siapa saja yang membaca tulisan ini Ibu ibu di rumah tentu lumrah mempraktekkan resep adonan kue yang dibacanya dari sebuah majalah. Menurut resep itu untuk membuat sepotong kue diperlukan sekian gram tepung terigu, sekian gram gula, sekian miligram panili, dan sekian gram kuning telur (ibu-ibu sekalian, di buku pelajaran fisika jumlah gram ini dinamakan massa bukanlah berat seperti yang biasa kita sebut). Kalau jumlah gram tepung terigu, gula, panili dan kuning telur masing-masing dilambangkan dengan u,v,w,x , maka resep kue itu dapat dituliskan dalam sebuah persamaan sederhana y= u + v + w + x . Tetapi kalau ibu-ibu hendak membuka usaha katering kue, maka rumus atau formula resep itu disamping harus memasukkan upah produksi, juga perlu mengoptimalkan komposisi bahan-bahannya, guna meraup keuntungan yang maksimal. Resep kue tersebut sekarang berubah menjadi y = au + bv + cw + dx + e, yang oleh mahasiswa ekonomi dikenal dengan persamaan linear yang mengandung 4 perubah bebas u,v,w, dan x. Tentu formula resep kue yang terakhir ini sudah diluar jangkauan ibu-ibu, karenanya ibu-ibu perlu menyekolahkan salah seorang putra-putrinya ke fakultas ekonomi, untuk mengetahui bagaimana cara mendapatkan angka a,b,c,d, dan e optimal yang akan membuat usaha katering kue tersebut sukses menyedot banyak pelanggan. Lantas dalam bentuk apa persamaan yang notabene menjadi basis sains dan teknologi tinggi itu?

Menurut penulis berkembangnya ilmu pengetahuan modern merupakan perwujudan cara memandang alam sekitar yang ditindaklanjuti dengan upaya menjelaskan keteraturan dan ketidakteraturan peristiwa yang terjadi di dalamnya (ini oleh para fisikawan disebut hukum alam). Dulu ketika di sekolah dasar kita sama-sama pernah diajarkan cara menghitung panjang garis miring segitiga siku-siku dengan dalil phitagoras. Ternyata dalil Phitagoras itu tidak sekedar untuk menghitung panjang ”garing” segitiga siku-siku, melainkan merupakan pembangun tiga fungsi trigonometri fundamental yaitu fungsi sina, cosa, dan tana. Mungkin tidak banyak yang tahu bahwa sesungguhnya hampir semua persoalan kehidupan di dunia ini pada dasarnya dapat ditangani dengan ketiga fungsi penting tersebut, asalkan mereka tahu bagaimana cara menggunakannya. Mengingat demikian pentingnya maka penulis mensketsakan gambar segitiga ”keramat” tersebut di bawah ini lengkap dengan definisi ketiga fungsi fundamental sina, cosa, dan tana

Menurut segitiga di atas, sekecil apapun bertambahnya tinggi y selalu diikuti oleh bertambahuya sudut a (perubahan kecil dari nilai y dan a ini masing-masing dilambangkan dengan dy dan da yang lazim dinamakan panjang diferensial). Menurut ilmu matematika hubungan laju atau kecepatan perubahan nilai y terhadap perubahan sudut a tersebut mematuhi persamaan :

............ (1)

Pangkat 2 di atas y menunjukkan bahwa ternyata hubungan perubahan tinggi benda terhadap perubahan sudut pandang tidak berbanding secara linear, sehingga sifatnya sama sekali berbeda dengan model persamaan linear pada pembuatan kue di atas. Pemecahan Pers.(1) yang dinamakan persamaan diferensial arctan ini menjadi salah satu topik bahasan mata kuliah kalkulus yang diberikan kepada mahasiswa eksakta dan teknik pada semester kedua. Tujuannya adalah menentukan nilai y untuk setiap nilai  yang divariasi. Karena nilai  bebas untuk diubah maka dinamakan perubah atau variabel bebas, sedangkan nilai y sangat tergantung pada nilai  karenanya dinamakan variabel tak bebas yang bertindak sebagai suatu fungsi. Fungsi y yang cocok untuk semua nilai  adalah y() = tan. Kalau hubungan y dan  ini diplotkan dalam sebuah kuva dimulai dari sudut  dari 0o hingga hampir 900 , kurvanya membentuk kurva lengkung transedental mengarah ke nilai y tak berhingga. Hingga saat ini tidak ada komputer canggih manapun yang mampu mengeplotkan kurva y=tan untuk nilai  dari 0o hingga tepat 900, hal ini karena nilai tan(900) =  alias takberhingga. Bila dikaitkan dengan cara pandang mata, maka wajarlah kalau tidak ada satupun manusia di muka bumi ini yang dapat melihat vertikal ke atas sembari wajahnya lurus ke depan, sekalipun dengan mata terbelalak. Sungguh sangat ajaib, ketika angka 1 digantikan dengan , atau 2, apalagi diganti dengan cos, Insya Allah tidak banyak mahasiswa yang bisa mendapatkan bentuk fungsi pemecahannya tanpa bantuan perangkat lunak simbolik, seperti MapleV, Matlab, dan Matematica yang umum beredar di kalangan akademisi. Mengapa? karena pemecahan bentuk persamaan diferensial yang baru ini memang tidak diajarkan pada perkulihaan tingkat sarjana.
Kemudian penulis memperumum bentuk Pers.(1) ke dalam bentuk yang common atau lazim dikenal para matematikiawan sedunia, yakni ke dalam bentuk :

............(2)
dengan variabel bebasnya dilambangkan dengan x, dan mengandung tiga koefisien bebas (nilainya bergantung pada x) yakni P(x), Q(x), dan R(x). Kalau suku pertama pada ruas kanannya dihilangkan maka Pers.(2) berubah ke bentuk persamaan diferensial linear, yang pemecahannya diajarkan pada perkulihan matematika semester ketiga. Tetapi bila Pers.(2) ditulis utuh, maka ia dinamakan persamaan diferensial nonlinear Ricatti. Kalau ketiga koefisien P,Q, dan R bernilai tetap (konstan) atau tidak bergantung pada nilai x, maka pemecahan untuk mendapatkan fungsi y(x) sangat mudah dilakukan, karena setelah dilakukan pemisahan variabel y dan x, maka pemecahan masing masing dapat dilakukan dengan integral. Karena itu persamaan diferensial Ricatti yang berkoefisien konstan termasuk kelompok integrable differential equations, yaitu persamaan diferensial yang bisa diintegralkan. Tetapi begitu koefisiennya tidak konstan seperti bentuk berikut :
..................... (3)

lagi-lagi Insya Allah tidak banyak yang mampu mengeluarkan solusi eksaknya dalam bentuk fornula analitik. Padahal Pers.(3) merupakan persamaan kunci dalam perancangan peralatan elektronik yang biasa dipraktekkan oleh mahasiswa Teknik Elektro. Mahasiswa dan dosen umumnya termanjakan oleh pemakaian program simbolik, lagi pula tanpa rumus analitikpun perancangan alat elektronik tetap berjalan karena solusi Pers.(3) dapat diperoleh secara mudah dengan metode numerik, ibarat pepatah tidak ada rotan akarpun jadi. Disini mereka lupa bahwa kalau formula eksak analitik itu ada ditangan, maka akurasi kinerja peralatan yang dibuatnya dijamin tidak diragukan lagi. Lantas apa hubungannya persamaan diferensial Ricatti ini dengan pengembangan sains dan teknologi tinggi. Menurut literatur matematika terapan, persamaan diferensial Ricatti dalam Pers.(2) merupakan ”ibu” dari persamaan Helmholtz, yang untuk kasus dimensi 1 yaitu mengandung satu variabel bebas x bentuknya adalah :

........................(4)
disini beta adalah tetapan yang nilainya khas atau tertentu untuk setiap fungsi k(x). Perlu pembaca ketahui, Persamaan Helmholtz ini merupakan perangkat matematika atau ”model utama” dalam eksplorasi minyak bumi dan pengembangan chip optik (digunakan baik dalam sistem komunikasi menggunakan serat optik, salah satu komponen penting dalam CCD kamera, dan Handpone multi warna, serta komputer masa depan yang dirancang bakal mampu memproses data secepat kilatan cahaya). Perlu diinformasikan pula, bahwa hingga saat ini persamaan Helmholtz untuk sembarang fungsi k(x) terutama yang berupa fungsi Gaussian belum berhasil dipecahkan secara eksak dalam bentuk formula analitik. Namun demikian metode numerik yang diprogram dengan komputer dapat menyelesaikannya secara mudah, walaupun hasil perhitungannya masih dalam taraf pendekatan alias belum akurat. Penulis menengarahi kemudahan pemecahan persamaan Helmholtz dengan metode numerik ini turut menjadi penyebab mengapa orang begitu mudah menyalahgunaan produk teknologi tinggi sebagaimana marak terjadi belakangn ini. Penulis menganggap perburuan terhadap metode yang bisa mengeluarkan solusi persamaan Helmholtz secara eksak dalam bentuk analitik tetap belum berhenti, mungkin para ahlinya masih beristirahat sejenak sambil berfikir mau diapakan lagi persamaan diferensial Helmholtz itu. Ini baru untuk kasus satu dimensi apalagi yang mengandung variabel bebas multidimensi, tentu dapat dibayangkan betapa rumitnya bentuk solusi eksak analitiknya.

Sesungguhnya teknologi tinggi saat ini tidak hanya berkutat di sekitar ekplorasi minyak bumi dan cara berkomunikasi yang mudah, efisisen, dan murah. Teknologi tinggi lainnya adalah teknologi pembuatan pesawat terbang dan kapal selam, bahkan teknologi yang berkembang beberapa tahun terahkir mengarah pada perekayasaan material sehingga peralatan elektronik di masa mendatang dapat dibuat berskala atom (berukuran nano meter), sebagaimana yang didengungkan dengan istilah nano technology. Menurut berbagai literatur yang penulis baca, bentuk persamaan diferensial yang secara umum mewakili atau menjadi basis model teknologi yang berkembang saat ini adalah persamaan diferensial nonlinear Bernoulli inhomogen, yang bentuknya adalah :
................(5)

Coba pembaca bandingkan Pers.(2) dengan Pers,(5), ternyata persamaan umum Ricatti merupakan salah satu kelompok dari persamaan Bernoulli inhomogen, tepatnya untuk n=2. Para pembaca sekalian, hal-hal yang tidakpastipun (undeterministic) atau yang lebih dikenal dengan fenomena stokastik juga terwakili oleh persamaan Bernoulli inhomogen, yaitu oleh n=3. Kelihatannya sampai baris ini para pembaca mulai ragu terhadap pernyataan penulis. Apa sulitnya memecahkan Pers.(5) itu, terlebih lagi ia merupakan basis teknologi tinggi. Apakah tidak satu orangpun di Indonesia yang mampu memecahkan persamaan tersebut. Setelah penulis membaca literatur bahwa persamaan Bernoulli untuk n =3 terutama yang f(x) nya berupa fungsi sinusoida seperti susah dipecahkan secara eksak, penulis terlebih dahulu mencoba memecahkannya untuk kasus kedua koefisien p dan Q konstan dengan semua program simbolik yang penulis miliki. Perangkat lunak Matematica yang dibuat Wolfram manusia terjenius saat ini mengeluarkan jawaban : soal anda bukan proses aljabar biasa, MapleV mengeluarkan jawaban no library, sedangkan Matlab tanpa meninggalkan pesan alias langsung heng. Penulis merasa tertantang untuk berupaya mencari tahu apa penyebabnya. Mengapa demikian? karena Pers.(5) terkatagori dalam non-integrable differential equations, yang konon katanya hingga kini masih diburu. Anehnya ketika f(x) dibuang, walaupun kedua koefisien p dan Q tidak konstan serta untuk berapapun nilai n, kecuali persamaan diferensial ini tetap dapat diintegralkan, yang bentuk solusi eksaknya banyak dijumpai dalam banyak pustaka matematika.
Para pembaca sekalian, penulis terperangkap dalam jebakan persamaan diferensial Bernoulli inhomogen ini sejak bulan mei 2006, hingga merasuk ke dalam lamunan. Namun persamaan Bernoulli ini tidak sampai merasuk ke dalam mimpi, karena sejak saat itu dalam sehari semalam penulis dapat tidur rata-rata hanya dua jam. Barangkali karena upaya ini dilandasi oleh niat tulus untuk mencerdaskan anak bangsa dengan tanpa dukungan dana riset dari manapun, suatu hari penulis mendapat hidayah tentang cara menyelesaikan persamaan diferensial nonlinear tersebut, yang integrable dipecahkan dengan teknik modulasi stabil, sedangkan yang non-integrable dipecahkan dengan metode reversif baru yang sama sekali berbeda dengan metode reversif yang berkembang hingga saat ini. Teknik modulasi stabil pada dasarnya menerapkan proses penumpangan (modulasi) informasi ke dalam penyelesaian persamaan diferensial nonlinear yang terintegrable dalam bentuk formula AF(A), dengan A dan F masing-masing mewakili solusi bagian linear dan solusi bagian nonliner dari persamaan diferensial nonlinear berderajad satu yang hendak diselesaikan. Sedangkan maksud A dalam kurung adalah solusi bagian linear tersebut ditumpangkan ke solusi bagian nonlinear yang sebelumnya telah dituliskan dalam bentuk fungsi gelombang, dengan F adalah fungsi fasanya. Istilah A dan F penulis gunakan untuk menganalogikan bentuk sampul gelombang termodulasi (A=amplitudo dan F=fungsi fasa) dengan solusi persamaan diferensial nonlinear yang terintegrable.
Penemuan kedua metode ini untuk sementara penulis klaim sebagai penemuan yang fenomenal di akhir tahun 2006. Dua buah paper tentang performansi teknik modulasi stabil sudah disampaikan pada even nasional dan internasional (Paper I disampaikan pada simposium nasional Matematika Analisis dan Aplikasinya yang diselenggarakan Jurusan Matematika ITS Surabaya, 10 Agustus 2006, sedangkan Paper ke II disampaikan pada International Conference of Mathematics and Natural Sciences ITB, Bandung, 29-30 Nopember 2006). Saat ini penulis sedang mempersiapkan beberapa paper untuk disubmit langsung ke jurnal matematika (domestik dan manca negara) dan beberapa lagi dipersiapkan untuk koferensi Matematika Terapan di luar negri, salah satunya akan disampaikan pada konferensi ahli matematika untuk Geofisika Universitas Kalsure di Jerman pada bulan Pebruari 2007 mendatang. Kedua metode ini siap untuk diuji oleh para ahli matematika manapun untuk dipertanggung-jawabkan kebenaran ilmiahnya, agar segera bisa digunakan secara resmi oleh mahasiwa-mahasiswa di Indonesia.
Hal lain yang berkenaan dengan kedua metode ini diantaranya :

• formula AF(A) teknik modulasi stabil (SMT=Stable Modulation Technique) dapat diberikan dalam bentuk diagram yang menjadikannya sebagai teknik pemecah persamaan diferensial nonlinear supercepat
• dapat menderet takhinggakan fungsi (infinite series of function) tanpa menggunakan deret Maclaurin
• dapat digunakan untuk membuktikan seluruh integral rumit yang terdaftar di Tabel Mathematical Handbooks of America, Ed. Stegun Abronowics
• dapat digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial khusus orde 2 seperti Fungsi khusus Bessel, Hermite, Airy, dan teman-temannya tanpa menggunakan deret pangkat (power series) dan atau deret Frobenius
• salah satu aplikasi penting dari kedua metode ini adalah dapat meningkatkan akurasi perhitungan waktu tiba sinyal gelombang pembawa gempa dan mendeteksi gejala anomali di bawah permukaan bumi
• solusi analitik Digaram AF(A) SMT ini bisa digunakan oleh para pengguna metode numerik untuk menguji kestabilan solusinya.

Sebagai bukti dari pernyataan point terakhir, penulis tampilkan komparasi hasil perhitungan solusi analitik formula AF(A) terhadap Pers.(3) dengan perhitungan metode Runge-kutha orde 4 yang dilakukan dengan sofware test Matlab versi 6.5. Komparasi hasil perhitungan tersebut ditunjukkan dalam Gambar 2 dan Gambar 3 berikut.

Gambar 2 Komparasi solusi Pers.(3) untuk nilai a=1, b=-0,5, A=5, f=1Hz, dan stepsize

Gambar 3 Komparasi solusi Pers.(3) untuk nilai a=1, b=-1, A=1, f=60 Hz

Para pembaca sekalian, tampak dari Gambar 2 dan Gambar 3 di atas, ternyata solusi metode numerik sangat tergantung pada pemakaian stepsize h. Karena itu para pengguna metode numerik seyogyanya terlebih dahulu melakukan uji kestabilan terhadap metode numerik yang akan digunakan. Jika tidak, maka akurasi solusi numerik tersebut perlu dipertanyakan. Bagaimana para ahli numerik mempertanggungjawabkan solusinya untuk persamaan-persamaan diferensial nonlinear yang solusi eksak analitiknya belum diketahui, Wallahu a’lam.

Semoga tulisan ini bermanfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan di Indonesia terutama untuk meningkatkan kecerdasan anak bangsa.


Salam ....

Rohedi

MORE .....

.....BACK