Sunday, August 31, 2008

How can prove that zero equal zero (0=0) or (1=1)

Who want to know and solve this equation?
if anybody can solve this problem and explain this equation, maybe you the best on matematic

1 = 1
a = a
(a**2 - a**2) = (a**2 - a**2)

..........................................
..........................................
..........................................
the result must be 1 = 1 ,but
the result is 1 = 2

you can answer on comment at the sidebar

MORE .....

Thursday, August 28, 2008

Komparasi Matematikanya Einstein Vs AF(A) Rohedi (Arabic Version)

omerrassikh14@hotmail.com: برید الكتروني

یعتبر ألبرت آینشتاین من أعظم العلماءفي ھذا القرن. بسببتلكالعظمة التي نالھا ھذا العالم فقدمجدهبعض
أتباعھبل و اعتبروهكنبي للعلوم. إن ھذا التمجیدلا یفُاجئَأحدا،فإذانظرنا إلىمسیرةجمیع العلماء الذین جاءوا من بعده
نجد أن شغلھم الشاغل كان في تفسیر و تبریرنظریتھَ. ذلكجدیر باحترامھذا العالم. لمِاذا ؟ لأنھ على نحو المستوى الرفیع
للعلِمِْ الحقیقي،ِفإنآینشتاینفي مسیرتھ الطویلة في مجال العلمنجدهقدخطىخْطُى واسعةبل نستطیع القول بأنھ ركض
( سعي كما في التعبیرِ العربيِ) ، ثمركب عربة تجرھا الأحصنةوبعد ذلك استقلھحافلةً.ھذا البیانِ لیَسَ بدون سبب، لأن في
سیاقِ الریاضیات،ِ مشكلة النسبیةِ الخاصةِّ لكِي تكَوُنَ شكلَ الاستغلالمِنْ نظریةِ فیثاغورس.ھنا تتجلى عظمة آینشتاین
الجدیر بالثناء بزیادتھُ في استغلالالنظریة بالتقریبذيالحدینِ التي لم یفكر بھا عالم من قبلھ. في الحقیقة، نسبیتھ الخاصةّ
(c) و التيتقتربمن سرعةَ الضوء (ν) طبقّتْ فقط على حركةِ الأجسام التي سرعت
طبقاً للمعادلة التفاضلیةِ اللاخطیّة،ِ نظریة التقریب ذاتالحدین التي طبقتْ مِن قبِل آینشتاین

والتي منھاتم التوصل للعلاقة
0التيأتاحةالمجال لبعض التقریبات و E = m c**2
،(Perturbation method) النظریات في حل المعادلة التفاضلیةِ اللاخطیّةِ. على سبیل المثال،نظریة الاضطراب
Floquent ،(Krylof and Bogoligof theorem) نظریة ،( Pocker-Planck approximation) تقریب
الخ. تلك النظریات استطاعتإلى حد ما في حلالمعادلة التفاضلیة المتجانسة اللاخطیّة.بینما في حالة .. method
المعادلة التفاضلیةاللامتجانسة اللاخطیّة فإنحلھا ما زالَ مَنْ الضَّروُري أَنْ یُختبَرَ.على سبیل المثال،حلمعادلة
على نحو عام فإنھا ملائمة فقط للحالة الثابتة. ،(stochastic resonances)
والرنین العشوائي (duffing oscillator)
نجد أن حلھا یقتصر فقط حتى الحد الثاني،كما یبدو فإن (Perturbation method) إذانظرنا إلى نظریة الاضطراب
الطریقة تكَوُنَ مستندة على الخطیةّ،ِ تليذلك خطوة قام بھاآینشتاین في حصر تعبیر الدالة إلى حدین فقط. لذلك یجب إعادة
النظر مرة أخرى في طرق ( نظریات)التقریب (مسألة الصندوق الأسود )التي تطرق إلیھا آینشتاین في نظریة النسبیة
العامة بعد فشلھفي الوصول لحل المعادلة التفاضلیة غیر التكاملیة خارج نطاق نظریة فیثاغورس.

في القریب العاجل سیتم التغلب على العقبات التي تواجھنا في إیجاد حل للمعادلات التفاضلیة اللاخطیّة بواسطة
.ROHEDI یدعى “maduresse physicist” ( تقنیة متطورة قد توصل إلیھا فیزیائي من أصل إندونیسي(مادوري
.(Stable Modulation Technique) اختصارا من SMT( أطلق على ھذه التقنیة الجدیدة أسم ( تقنیة التحویر المستقرةّ
التفاضلیة، ویعطى arc-tangent و معادلات ( Bernoulli ) تستند ھذه التقنیة الجدیدة على كل من معادلات برنو لي
لكي نكون صورة لكیفیة أداء ھذه الطریقة الجدیدة، على القارئ أن یتأمل في .AF(A) الحل لھذه التقنیة الجدیدة في صیغة
التفاضلیة في الأسفل.ستتضح لك إلي أي مدى stochastic و معادلات Ricatti الرسوم البیانیة لبع ض من معادلات
للرتبة Runge Kutha التي تمثل الحل الریاضي لآینشتاین ( ھنا (numerical method) استقرار الطریقة العددیة
.step-size الرابعة) الذي یعتمد بدرجة كبیرة على استعما

كموضوعأطروحةالدكتوراهبمشیئة و تحت إشرافاللهسبحانھ و SMT سیجعل كاتبھذهالتقنیة الجدیدة
. DIKTI تعالى برغم من المضایقات التي یواجھھا الكاتب من قبل إدارة التعلیم الأكادیمي
أملأن تكَوُن ھذهالمقالةمفیدة،
Rohedi الكاتب
 التفاضلیة Ricatti حَلّمعاد
f =20 Hz وعند تردد منخفض y0 = بقیمة ابتدائیة 0.1
step-size h = حل المعادلة باستخدام 0.1



step-size h = حل المعادلة باستخدام 0.05



step-size h = حل المعادلة باستخدام 0.01



التفاضلیة Stochastic حَلّمعاد
a
وعند تردد عاليبقیمة ابتدائیة

step-size h =حل المعادلة باستخدام 0.01



step-size h =حل المعادلة باستخدام 0.001




 التفاضلیة Stochastic حَلّمعاد
وعند تردد عاليبقیمة ابتدائیةa

step-size h =1 حل المعادلة باستخدا



step-size h = حل المعادلة باستخدام 0.1



MORE .....

Kunci Sains Dan Teknologi Ada Di Angka Kelahiran Republik Indonesia

Para visitor tentu ingat bahwa saat saya meluncurkan website rohedi.com kepada khalayak, artikel pertama yang saya tampilkan adalah info tentang formula analitik untuk polinomial orde positif sembarang versi saya. Pada artikel tersebut saya contohkan pula komparasi nilai sisa polinomial (remainder) antara rohedi’s formula dengan hasil hitungan perangkat lunak Matlab untuk polinomial orde 1060.

Remainder hitungan rohedi’s formula tetap konsisten dengan teori matematika yakni mendekati nol, sedangkan remainder hitungan Matlab sangat payah karena nilainya mendekati takberhingga. Walaupun demikian saya tidak terburu-buru mengklaim formula analitik yang saya miliki tersebut sebagai penemuan, karena disamping paper tentang formula digdaya itu belum saya publikasikan ke manca negara, juga karena saya masih ingin berbagi tip dengan sesama anak bangsa, siapa tahu ada diantara visitor yang brillian mendapatkannya, sehingga saya turut berbangga mengantarkan sang penemu meraih field medal yaitu gelar prestisius di bidang matamatika. Tak ayal lagi kelak Indonesia akan menjadi sentra New Science sebagaimana saya ilustrasikan pada rohedi.blogspot. Mengapa? karena saya akan sependapat dengan semua visitor, bahwa karya Profesor PTN dan PTS produk DIKTI tentu jauh lebih hebat dari karya ROHEDI yang hanya tamatan S2 dalam negeri.

Sebagaimana inspirasi untuk mendapatkan rohedi’s reversion sebagai teknik reversi baru dalam menyelesaikan persamaan diferensial biasa nonlinear dalam bentuk Maclaurin series (silahkan baca kembali artikel How to upgrade the running time of computer), untuk mendapatkan formula analitik polinomial orde sembarang dimaksud, sayapun terinspirasi akan ketajaman hati nurani para Pendiri Bangsa dalam menetapkan kelahiran RI (Republik Indonesia) tercinta ini pada 17–8–1945. Pada penyelesaian persamaan diferensial arctanget, ternyata angka-angka tanggal, bulan, dan tahun kelahiran RI tersebut termaktub dalam koefisien deret tangent function pada suku ke 8 (delapan) yakni Perlu visitor ketahui bahwa tangent function dan arctangent merupakan fungsi trigonometri yang perannya amat vital dalam pemecahan problem integral dan persamaan diferensial secara analitik sebagaimana saya jelaskan dalam artikel surat ke KAMINDO (Komisi Ahli Matematika Analisis Indonesia). Semoga pernyataan saya tidak salah kalau Angka Kelahiran RI tersebut merupakan representasi visi akademis para Pendiri Bangsa yang harus diwujudkan oleh siapapun yang memimpin bangsa ini melalui misi-misi pencerdasan bangsa yang harus ditargetkan selama masa kepemimpinannya. Namun sayang, baru 45 tahun pasca kemerdekaan bangsa kita, sistem pendidikan di Indonesia berjalan tanpa arah yang jelas, itupun dengan punguatan biaya pendidikan yang sangat mencekik. Semoga pula surat tersebut sampai ke KAMINDO setelah saya berpulang ke rahmatullah, demikian pula jumlah suku deret tangent function hasil hitung tangan saya dalam isi surat tersebut tidak tercium oleh pengelola musium rekor Indonesia (MURI) sebagai rekor jumlah suku terbanyak yang dapat dicapai anak bangsa Indonesia (bahkan mungkin di dunia). Mengapa? karena mempertanggungjawabkan langkah perumusannya di depan mereka, berarti membuka rahasia teknik reversi baru tersebut, yang tentu saja akan menghilangkan kesempatan saya untuk mematenkan teknik smart tersebut di lembaga PATEN USA sebagai lembaga Paten terpercaya hingga saat ini. Begitu nomor PATEN itu keluar, copy right dari teknik smart pemecah persamaan diferensial nonlinear tersebut akan saya lego dengan harga yang sangat fantantis, yaitu Rp. 100 T. Semoga jerih payah rumus sakti yang saya niatkan untuk mengentaskan kaum Duafa (Fakir miskin dan orang terlantar) serta membahagiakan Anak Yatim Piatu itu segera terwujud

Keterangan lebih lanjut kunjungi http://rohedi.com

MORE .....

Komparasi Matematikanya Einstein Vs AF(A) Rohedi

Albert Einstein adalah ilmuwan terbesar sepanjang sejarah. Saking hebatnya sampai-sampai beliau ditasbihkan oleh para pemujanya sebagai prophet of siences. Karena itu tidak mengherankan kalau kiprah seluruh ilmuwan lainnya dianggap hanya sebagai penjustifikasi terhadap teori-teori yang telah ditelorkannya. Masya Allah, sungguh penobatan ini sangat berlebihan. Mengapa?

ya karena dalam menuju singgasana sains yang sangat prestisius tersebut, Pak Einstein tidak berjalan kaki sembari ber“sai“ atau berlari-lari kecil, melainkan terlebih dahulu naik delman segitiga Phytagoras kemudian menumpang bus binomial. Pernyataan ini bukannya tanpa alasan, karena dalam kontek matematika, persoalan relativitas khusus merupakan bentuk ekploitasi hukum Phytagoras. Kehebatan Pak Einstein yang patut diacungkan jempol adalah terletak pada kejelian beliau memanfaatkan pendekatan binomial yang sama sekali tak terfikirkan oleh ilmuwan lain sebayanya. Faktanya relativitas khusus tersebut berlaku hanya untuk pergerakan partikel yang kecepatannya (v) mendekati kecepatan cahaya (c)

Keterangan lebih lanjut kunjungi http://rohedi.com

MORE .....

Fenomenal Invention in End the Year 2006

Penemuan yang dimaksudkan pada judul tulisan ini tidak berhubungan dengan tengara polisi akan keterlibatan sindikat narkoba dibalik kematian selebritis Alda Risma. Juga tidak berhubungan dengan pengakuan YZ mantan anggota DPR pusat tentang motif dibalik penyebaran gambar ”mesum hubungan intimnya” dengan penyanyi dangdut ME, apalagi berhubungan dengan nuasa kepuasan mendalam yang tersirat dari wajah beberapa pegawai di salah satu PEMDA di Jawa Barat, manakala mereka beramai-ramai melihat komputer yang memuat gambar ”harta karun” rekan wanita sekantornya.

Esensi penemuan ini justru berkaitan erat dengan upaya mendapatkan formula racikan beberapa bahan kimia kelompok G yang aman dikonsumsi masyarakat, serta teknologi pembuatan chip optik-elektronik yang menjadi pengendali proses penyaluran informasi pada handpone dan pemerosesan data di dalam komputer. Andai mereka sempat merenungkan betapa mulianya tujuan para periset dan pengembang chip yang menjadi otak dari handpone dan komputer itu, barangkali para sindikat narkoba dan penyebar gambar porno akan berpikir dua kali untuk menyalahgunakan kedua produk teknologi tinggi tersebut. Lantas mengapa penyalahgunaan ini sedemikian mudah dilakukan?, para pembaca harap bersabar sejenak, karena penulis akan memaparkan salah satu penyebabnya di akhir tulisan ini.

Penemuan fenomenal yang penulis maksudkan berupa teknik baru pemecahan persamaan diferensial nonlinear. Masyarakat umum tentu awam terhadap istilah persamaan diferensial ini, tetapi penulis juga meyakini bahwa tidak semua mahasiswa dan dosen di perguruan tinggi yang mengenal betul bentuk persamaan diferensial nonlinear tersebut. Hal ini karena materi kuliah di perguruan tinggi umumnya di seputaran persamaan diferensial linear. Karena itu para pembaca pastilah mengira kalau penulispun kebingungan tentang bagaimana cara menyampaikan berita baik ini kepada khalayak, agar penemuan yang menurut keyakinan penulis Insya Allah bakal ”mengibarkan merah putih” di manca negara itu dapat membanggakan siapa saja yang membaca tulisan ini Ibu ibu di rumah tentu lumrah mempraktekkan resep adonan kue yang dibacanya dari sebuah majalah. Menurut resep itu untuk membuat sepotong kue diperlukan sekian gram tepung terigu, sekian gram gula, sekian miligram panili, dan sekian gram kuning telur (ibu-ibu sekalian, di buku pelajaran fisika jumlah gram ini dinamakan massa bukanlah berat seperti yang biasa kita sebut). Kalau jumlah gram tepung terigu, gula, panili dan kuning telur masing-masing dilambangkan dengan u,v,w,x , maka resep kue itu dapat dituliskan dalam sebuah persamaan sederhana y= u + v + w + x . Tetapi kalau ibu-ibu hendak membuka usaha katering kue, maka rumus atau formula resep itu disamping harus memasukkan upah produksi, juga perlu mengoptimalkan komposisi bahan-bahannya, guna meraup keuntungan yang maksimal. Resep kue tersebut sekarang berubah menjadi y = au + bv + cw + dx + e, yang oleh mahasiswa ekonomi dikenal dengan persamaan linear yang mengandung 4 perubah bebas u,v,w, dan x. Tentu formula resep kue yang terakhir ini sudah diluar jangkauan ibu-ibu, karenanya ibu-ibu perlu menyekolahkan salah seorang putra-putrinya ke fakultas ekonomi, untuk mengetahui bagaimana cara mendapatkan angka a,b,c,d, dan e optimal yang akan membuat usaha katering kue tersebut sukses menyedot banyak pelanggan. Lantas dalam bentuk apa persamaan yang notabene menjadi basis sains dan teknologi tinggi itu?

Menurut penulis berkembangnya ilmu pengetahuan modern merupakan perwujudan cara memandang alam sekitar yang ditindaklanjuti dengan upaya menjelaskan keteraturan dan ketidakteraturan peristiwa yang terjadi di dalamnya (ini oleh para fisikawan disebut hukum alam). Dulu ketika di sekolah dasar kita sama-sama pernah diajarkan cara menghitung panjang garis miring segitiga siku-siku dengan dalil phitagoras. Ternyata dalil Phitagoras itu tidak sekedar untuk menghitung panjang ”garing” segitiga siku-siku, melainkan merupakan pembangun tiga fungsi trigonometri fundamental yaitu fungsi sina, cosa, dan tana. Mungkin tidak banyak yang tahu bahwa sesungguhnya hampir semua persoalan kehidupan di dunia ini pada dasarnya dapat ditangani dengan ketiga fungsi penting tersebut, asalkan mereka tahu bagaimana cara menggunakannya. Mengingat demikian pentingnya maka penulis mensketsakan gambar segitiga ”keramat” tersebut di bawah ini lengkap dengan definisi ketiga fungsi fundamental sina, cosa, dan tana

Image


Menurut segitiga di atas, sekecil apapun bertambahnya ti
nggi y selalu diikuti oleh bertambahuya sudut a (perubahan kecil dari nilai y dan a ini masing-masing dilambangkan dengan dy dan da yang lazim dinamakan panjang diferensial). Menurut ilmu matematika hubungan laju atau kecepatan perubahan nilai y terhadap perubahan sudut a tersebut mematuhi persamaan :

Image   ............ (1)

Pangkat 2 di atas y menunjukkan bahwa ternyata hubungan perubahan tinggi benda terhadap perubahan sudut pandang tidak berbanding secara linear, sehingga sifatnya sama sekali berbeda dengan model persamaan linear pada pembuatan kue di atas. Pemecahan Pers.(1) yang dinamakan persamaan diferensial arctan ini menjadi salah satu topik bahasan mata kuliah kalkulus yang diberikan kepada mahasiswa eksakta dan teknik pada semester kedua. Tujuannya adalah menentukan nilai y untuk setiap nilai  yang divariasi. Karena nilai  bebas untuk diubah maka dinamakan perubah atau variabel bebas, sedangkan nilai y sangat tergantung pada nilai  karenanya dinamakan variabel tak bebas yang bertindak sebagai suatu fungsi. Fungsi y yang cocok untuk semua nilai  adalah y() = tan. Kalau hubungan y dan  ini diplotkan dalam sebuah kuva dimulai dari sudut  dari 0o hingga hampir 900 , kurvanya membentuk kurva lengkung transedental mengarah ke nilai y tak berhingga. Hingga saat ini tidak ada komputer canggih manapun yang mampu mengeplotkan kurva y=tan untuk nilai  dari 0o hingga tepat 900, hal ini karena nilai tan(900) =  alias takberhingga. Bila dikaitkan dengan cara pandang mata, maka wajarlah kalau tidak ada satupun manusia di muka bumi ini yang dapat melihat vertikal ke atas sembari wajahnya lurus ke depan, sekalipun dengan mata terbelalak. Sungguh sangat ajaib, ketika angka 1 digantikan dengan , atau 2, apalagi diganti dengan cos, Insya Allah tidak banyak mahasiswa yang bisa mendapatkan bentuk fungsi pemecahannya tanpa bantuan perangkat lunak simbolik, seperti MapleV, Matlab, dan Matematica yang umum beredar di kalangan akademisi. Mengapa? karena pemecahan bentuk persamaan diferensial yang baru ini memang tidak diajarkan pada perkulihaan tingkat sarjana.
Kemudian penulis memperumum bentuk Pers.(1) ke dalam bentuk yang common atau lazim dikenal para matematikiawan sedunia, yakni ke dalam bentuk :

Image ............(2)
dengan variabel bebasnya dilambangkan dengan x, dan mengandung tiga koefisien bebas (nilainya bergantung pada x) yakni P(x), Q(x), dan R(x). Kalau suku pertama pada ruas kanannya dihilangkan maka Pers.(2) berubah ke bentuk persamaan diferensial linear, yang pemecahannya diajarkan pada perkulihan matematika semester ketiga. Tetapi bila Pers.(2) ditulis utuh, maka ia dinamakan persamaan diferensial nonlinear Ricatti. Kalau ketiga koefisien P,Q, dan R bernilai tetap (konstan) atau tidak bergantung pada nilai x, maka pemecahan untuk mendapatkan fungsi y(x) sangat mudah dilakukan, karena setelah dilakukan pemisahan variabel y dan x, maka pemecahan masing masing dapat dilakukan dengan integral. Karena itu persamaan diferensial Ricatti yang berkoefisien konstan termasuk kelompok integrable differential equations, yaitu persamaan diferensial yang bisa diintegralkan. Tetapi begitu koefisiennya tidak konstan seperti bentuk berikut :
Image ..................... (3)

lagi-lagi Insya Allah tidak banyak yang mampu mengeluarkan solusi eksaknya dalam bentuk fornula analitik. Padahal Pers.(3) merupakan persamaan kunci dalam perancangan peralatan elektronik yang biasa dipraktekkan oleh mahasiswa Teknik Elektro. Mahasiswa dan dosen umumnya termanjakan oleh pemakaian program simbolik, lagi pula tanpa rumus analitikpun perancangan alat elektronik tetap berjalan karena solusi Pers.(3) dapat diperoleh secara mudah dengan metode numerik, ibarat pepatah tidak ada rotan akarpun jadi. Disini mereka lupa bahwa kalau formula eksak analitik itu ada ditangan, maka akurasi kinerja peralatan yang dibuatnya dijamin tidak diragukan lagi. Lantas apa hubungannya persamaan diferensial Ricatti ini dengan pengembangan sains dan teknologi tinggi. Menurut literatur matematika terapan, persamaan diferensial Ricatti dalam Pers.(2) merupakan ”ibu” dari persamaan Helmholtz, yang untuk kasus dimensi 1 yaitu mengandung satu variabel bebas x bentuknya adalah :

Image ........................(4)
disini beta adalah tetapan yang nilainya khas atau tertentu untuk setiap fungsi k(x). Perlu pembaca ketahui, Persamaan Helmholtz ini merupakan perangkat matematika atau ”model utama” dalam eksplorasi minyak bumi dan pengembangan chip optik (digunakan baik dalam sistem komunikasi menggunakan serat optik, salah satu komponen penting dalam CCD kamera, dan Handpone multi warna, serta komputer masa depan yang dirancang bakal mampu memproses data secepat kilatan cahaya). Perlu diinformasikan pula, bahwa hingga saat ini persamaan Helmholtz untuk sembarang fungsi k(x) terutama yang berupa fungsi Gaussian Imagebelum berhasil dipecahkan secara eksak dalam bentuk formula analitik. Namun demikian metode numerik yang diprogram dengan komputer dapat menyelesaikannya secara mudah, walaupun hasil perhitungannya masih dalam taraf pendekatan alias belum akurat. Penulis menengarahi kemudahan pemecahan persamaan Helmholtz dengan metode numerik ini turut menjadi penyebab mengapa orang begitu mudah menyalahgunaan produk teknologi tinggi sebagaimana marak terjadi belakangn ini. Penulis menganggap perburuan terhadap metode yang bisa mengeluarkan solusi persamaan Helmholtz secara eksak dalam bentuk analitik tetap belum berhenti, mungkin para ahlinya masih beristirahat sejenak sambil berfikir mau diapakan lagi persamaan diferensial Helmholtz itu. Ini baru untuk kasus satu dimensi apalagi yang mengandung variabel bebas multidimensi, tentu dapat dibayangkan betapa rumitnya bentuk solusi eksak analitiknya.

Sesungguhnya teknologi tinggi saat ini tidak hanya berkutat di sekitar ekplorasi minyak bumi dan cara berkomunikasi yang mudah, efisisen, dan murah. Teknologi tinggi lainnya adalah teknologi pembuatan pesawat terbang dan kapal selam, bahkan teknologi yang berkembang beberapa tahun terahkir mengarah pada perekayasaan material sehingga peralatan elektronik di masa mendatang dapat dibuat berskala atom (berukuran nano meter), sebagaimana yang didengungkan dengan istilah nano technology. Menurut berbagai literatur yang penulis baca, bentuk persamaan diferensial yang secara umum mewakili atau menjadi basis model teknologi yang berkembang saat ini adalah persamaan diferensial nonlinear Bernoulli inhomogen, yang bentuknya adalah :
Image ................(5)

Coba pembaca bandingkan Pers.(2) dengan Pers,(5), ternyata persamaan umum Ricatti merupakan salah satu kelompok dari persamaan Bernoulli inhomogen, tepatnya untuk n=2. Para pembaca sekalian, hal-hal yang tidakpastipun (undeterministic) atau yang lebih dikenal dengan fenomena stokastik juga terwakili oleh persamaan Bernoulli inhomogen, yaitu oleh n=3. Kelihatannya sampai baris ini para pembaca mulai ragu terhadap pernyataan penulis. Apa sulitnya memecahkan Pers.(5) itu, terlebih lagi ia merupakan basis teknologi tinggi. Apakah tidak satu orangpun di Indonesia yang mampu memecahkan persamaan tersebut. Setelah penulis membaca literatur bahwa persamaan Bernoulli untuk n =3 terutama yang f(x) nya berupa fungsi sinusoida seperti susah dipecahkan secara eksak, penulis terlebih dahulu mencoba memecahkannya untuk kasus kedua koefisien p dan Q konstan dengan semua program simbolik yang penulis miliki. Perangkat lunak Matematica yang dibuat Wolfram manusia terjenius saat ini mengeluarkan jawaban : soal anda bukan proses aljabar biasa, MapleV mengeluarkan jawaban no library, sedangkan Matlab tanpa meninggalkan pesan alias langsung heng. Penulis merasa tertantang untuk berupaya mencari tahu apa penyebabnya. Mengapa demikian? karena Pers.(5) terkatagori dalam non-integrable differential equations, yang konon katanya hingga kini masih diburu. Anehnya ketika f(x) dibuang, walaupun kedua koefisien p dan Q tidak konstan serta untuk berapapun nilai n, kecuali Imagepersamaan diferensial ini tetap dapat diintegralkan, yang bentuk solusi eksaknya banyak dijumpai dalam banyak pustaka matematika.
Para pembaca sekalian, penulis terperangkap dalam jebakan persamaan diferensial Bernoulli inhomogen ini sejak bulan mei 2006, hingga merasuk ke dalam lamunan. Namun persamaan Bernoulli ini tidak sampai merasuk ke dalam mimpi, karena sejak saat itu dalam sehari semalam penulis dapat tidur rata-rata hanya dua jam. Barangkali karena upaya ini dilandasi oleh niat tulus untuk mencerdaskan anak bangsa dengan tanpa dukungan dana riset dari manapun, suatu hari penulis mendapat hidayah tentang cara menyelesaikan persamaan diferensial nonlinear tersebut, yang integrable dipecahkan dengan teknik modulasi stabil, sedangkan yang non-integrable dipecahkan dengan metode reversif baru yang sama sekali berbeda dengan metode reversif yang berkembang hingga saat ini. Teknik modulasi stabil pada dasarnya menerapkan proses penumpangan (modulasi) informasi ke dalam penyelesaian persamaan diferensial nonlinear yang terintegrable dalam bentuk formula AF(A), dengan A dan F masing-masing mewakili solusi bagian linear dan solusi bagian nonliner dari persamaan diferensial nonlinear berderajad satu yang hendak diselesaikan. Sedangkan maksud A dalam kurung adalah solusi bagian linear tersebut ditumpangkan ke solusi bagian nonlinear yang sebelumnya telah dituliskan dalam bentuk fungsi gelombang, dengan F adalah fungsi fasanya. Istilah A dan F penulis gunakan untuk menganalogikan bentuk sampul gelombang termodulasi (A=amplitudo dan F=fungsi fasa) dengan solusi persamaan diferensial nonlinear yang terintegrable.
Penemuan kedua metode ini untuk sementara penulis klaim sebagai penemuan yang fenomenal di akhir tahun 2006. Dua buah paper tentang performansi teknik modulasi stabil sudah disampaikan pada even nasional dan internasional (Paper I disampaikan pada simposium nasional Matematika Analisis dan Aplikasinya yang diselenggarakan Jurusan Matematika ITS Surabaya, 10 Agustus 2006, sedangkan Paper ke II disampaikan pada International Conference of Mathematics and Natural Sciences ITB, Bandung, 29-30 Nopember 2006). Saat ini penulis sedang mempersiapkan beberapa paper untuk disubmit langsung ke jurnal matematika (domestik dan manca negara) dan beberapa lagi dipersiapkan untuk koferensi Matematika Terapan di luar negri, salah satunya akan disampaikan pada konferensi ahli matematika untuk Geofisika Universitas Kalsure di Jerman pada bulan Pebruari 2007 mendatang. Kedua metode ini siap untuk diuji oleh para ahli matematika manapun untuk dipertanggung-jawabkan kebenaran ilmiahnya, agar segera bisa digunakan secara resmi oleh mahasiwa-mahasiswa di Indonesia.
Hal lain yang berkenaan dengan kedua metode ini diantaranya :
  • formula AF(A) teknik modulasi stabil (SMT=Stable Modulation Technique) dapat diberikan dalam bentuk diagram yang menjadikannya sebagai teknik pemecah persamaan diferensial nonlinear supercepat
  • dapat menderet takhinggakan fungsi (infinite series of function) tanpa menggunakan deret Maclaurin
  • dapat digunakan untuk membuktikan seluruh integral rumit yang terdaftar di Tabel Mathematical Handbooks of America, Ed. Stegun Abronowics
  • dapat digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial khusus orde 2 seperti Fungsi khusus Bessel, Hermite, Airy, dan teman-temannya tanpa menggunakan deret pangkat (power series) dan atau deret Frobenius
  • salah satu aplikasi penting dari kedua metode ini adalah dapat meningkatkan akurasi perhitungan waktu tiba sinyal gelombang pembawa gempa dan mendeteksi gejala anomali di bawah permukaan bumi
  • solusi analitik Digaram AF(A) SMT ini bisa digunakan oleh para pengguna metode numerik untuk menguji kestabilan solusinya.
Sebagai bukti dari pernyataan point terakhir, penulis tampilkan komparasi hasil perhitungan solusi analitik formula AF(A) terhadap Pers.(3) dengan perhitungan metode Runge-kutha orde 4 yang dilakukan dengan sofware test Matlab versi 6.5. Komparasi hasil perhitungan tersebut ditunjukkan dalam Gambar 2 dan Gambar 3 berikut.

Image

Image

Gambar 2 Komparasi solusi Pers.(3) untuk nilai a=1, b=-0,5, A=5, f=1Hz, dan stepsize

Image

Image

Gambar 3 Komparasi solusi Pers.(3) untuk nilai a=1, b=-1, A=1, f=60 Hz

Para pembaca sekalian, tampak dari Gambar 2 dan Gambar 3 di atas, ternyata solusi metode numerik sangat tergantung pada pemakaian stepsize h. Karena itu para pengguna metode numerik seyogyanya terlebih dahulu melakukan uji kestabilan terhadap metode numerik yang akan digunakan. Jika tidak, maka akurasi solusi numerik tersebut perlu dipertanyakan. Bagaimana para ahli numerik mempertanggungjawabkan solusinya untuk persamaan-persamaan diferensial nonlinear yang solusi eksak analitiknya belum diketahui, Wallahu a’lam.

Semoga tulisan ini bermanfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan di Indonesia terutama untuk meningkatkan kecerdasan anak bangsa.


Salam ....

Rohedi

MORE .....

Tuesday, August 26, 2008

Analytical Formulation of Normal Modes in Symmetrical Directional-coupler

The analysis of the optical power transfer in the linear step index directional-coupler based on the couple-mode theory is inaccurate for a small gap. This problem has been previously overcome by using the normal-modes approximation. Commonly,

this approximation has been solved by numerical methods such as Fourier transform or finite difference. In this paper, the Helmholtz equation is, instead, analytically solved by using a characteristic matrix of multiplayer waveguides in order to find the electric field and its propagation constant of the normal-modes. The importance of these analytical formulas, is that a phase shift of the normal modes along the propagation can be easily analyzed.

1. Introduction

In integrated optics areas, the directional-couplers are the major interest with potential applications to optical communications, i.e, used to fabricate low-loss optical switches[1], high speed modulators[2], polarization splitter[3] and wavelength demultiplexer/multiplexer[4]. Due to coupling effect, optical power can be transferred from one waveguide to another adjacent waveguide as a result of the overlap in the evanescent fields of the two guides. The amount of power transferred between the waveguides depends upon the waveguide parameters, i.e, the guided wavelength, the confinement of the individual waveguides, the separation between them, the length over which they interact, and the phase mismatch between the individual waveguides[5].

The power transfer of two waveguides in the directional-couplers has been treated extensively utilizing the coupled-mode method, but as shown in [6] this method becomes less accurate when the waveguides get too close. An alternative choice is the normal-modes approximation. This approximation taken full account of the entire structure and solves for modal indices and guided fields of the supermodes. In the normal-modes approach, the characteristic of the directional-couplers are then represented by interferences between the guided fields of the supermodes[7], i.e symmetrical and asymmetrical modes. In practical, the directional-couplers are made in 3-D structure, consist of waveguides with finite lateral dimensions. In order to obtain the exact solutions of normal modes, the 3-D is usually reduced to 2-D guides structure[7],[8]. Hence in the 2-D guides, the two parallel waveguides with their surrounding medium can be considered as a single structure, so that the normal-modes of the such structure can be solved by method of multilayer waveguides. In this paper we use the multilayer waveguides to formulate the optical electric fields in the symmetrical directional-couplers. The expression of such the guided fields derived by method of multilayer waveguides given by Kogelnik[9], and Rohedi[10].

For Detail Visit http://rohedi.com

MORE .....

Application of Stable Modulation Scheme for Solving Bernoulli Differential Equation

Solving of Bernoulli differential equation traditionally always is done applies linearization procedure by using Bernoulli transformation function. This paper introduces a new technique of solving the Bernoulli differential equation without using linearization by application of stable modulation scheme.

Application of the method named Stable Modulation Technique (called as SMT) is started by splitting the Bernoulli differential equation to parts of linear and nonlinear, then writes down the solution of nonlinear part in the form of modulation function which its initial value besides played the part of as amplitude A and also is modulated into a phase function F(A). The exact solution of Bernoulli differential equation given in AF(A) formula obtained after replacing the linear solution part into initial value of its nonlinear part solution. In this paper presented the usage of SMT for solving the storage model of magnetic energy into inductor.

I. Introduction
The homogeneous Bernoulli differential equation that commonly called Bernoulli differential equation (BDE) to become as primary model in so many application branches. The BDE is distinguished to the degree of its nonlinearity (n). For instance, the BDE having degree of two commonly applied to model growth of logistic in Biology[1] and the behavior of chaos[2], while for the degree of three (n=3)
the BDE forms Gizbun or quartic equation commonly used to analyze corrosion process[3]. The BDEalso is nonlinear part of Klein Gordon partial differential equation which is the usage widely, among these are in studying the dynamics of elementary particles and stochastic resonances4], the transportation of fluxon[5], the excitation of squeezed laser[6], etc.


As commonly explained in mathematical handbook[7],[8], solving of BDE always is done through linearization procedure as in recommending by Jacob Bernoulli. The transformation from the form of nonlinear to the linear differential equation is performed by using Bernoulli transformation function, and hereinafter solved by using the common method of solving a linear differential equation. Recently, Rohedi[9] has reported verification of the Bernoulli transfomation function, and justify the general solution of Bernoulli differential equation which written in mathematical handbook. At the paper was introduced stable modulation technique (called as SMT) focused to solve BDE of constant coefficients, especially which its solution is started from ordinary point. Rohedi[10] has also reported application of SMT for solving a Ricatti differential equation of constant coefficients which its inhomogeneous term in form of sinusoidal function that also was started from ordinary point. In this paper, applying the SMT is developed to solve BDE for arbitrary value of its linear and nonlinear coefficients, either and also constant valuable and varying as function of its dependent variable. In mathematics, this differential equation is known as the general homogeneous Bernoulli differential
equation.

For Detail Visit http://rohedi.com

MORE .....

Simplified Calculation of Guided Nonlinear Boundary-Wave Parameters Using Optimization Procedure

A guided wave excited along the boundary between linear and nonlinear media known as initial inspiration for developing devices based on Kerr nonlinear optics, such as the nonlinear directional coupler, etc. Two important parameters for such structure are respectively the minimum amplitude of light required for the excitation, and the location of the peak of guided nonlinear boundary wave. Analytical procedure of derivation the two parameters commonly involved the Jacobi’s elliptic functions based on the numerical integration. In order to simplify the calculation procedure, in this paper we introduce optimization procedure based on applying the solitary wave solution for guided field inside the nonlinear media. The simulation of guided wave excitation at the interface between linear and nonlinear media is also presented

1. Introduction

In integrated optics, all of optical devices have been made in waveguide structures, based on both linear and nonlinear optics materials. The simpliest structure of optical waveguides made of linear materials whose all of refractive indices independently to the propagating light intensity requires three layers that known as slab optical guide or slab waveguide [1]. Hence, an advanced devices such as directional-coupler that commonly applicable for optical power transfer and/or optical switching, beside in complicated structure, but also it requires applying of external treatments, because all devices made of linear materials only can operate as passive components [2]. On the other hand, due to the dependency to the propagating light intensity, recently the nonlinear materials especially for the Kerr optics materials much be applied for fabricating active-optical waveguides, that have been commonly used in many application branches, for examples, all devices of X-junction, Mach-zender interferometer, feedback grating, optical bistability, etc [3]. In addition, because of self focusing of the nonlinear Kerr optics materials, the number layer of slab waveguide reduces from three into two layers, while optical wave that propagates over the waveguide is commonly called as the boundary wave. Important to be stressed here, that the two-layer slab waveguide consists of a nonlinear Kerr optics material as the guiding layer is deposited on top a substrate of linear optics material [4].
The main problem in designing the two layers slab waveguide that are determination of the minimum amplitude of light required for the excitation, and the location of the peak of guided nonlinear boundary wave. The two parameters are depend on the effective refractive index of the slab waveguide. This paper introduces optimization procedure for obtaining all parameters of the two layer slab waveguide. The procedure of optimization was primarly applied to maximize the peak of electric field guided boundary wave in the nonlinear guiding layer.

For Detail Visit http://rohedi.com

MORE .....

Another Publication from ROHEDI Laboratory


Penerapan Skema Modulasi Stabil Pada Penyelesaian Persamaan Diferensial Bernoulli. Download -- View

Teknik Menormalisasi Persamaan Relasi Dispersi Pandu Gelombang Slab Berbasis Bahan Optik Linier. Download -- View

Simplified Calculation of Guided Nonlinear Boundary-Wave Parameters Using Optimization Procedure. Download -- View

PERHITUNGAN TENAGA GERAK PARTIKEL DALAM SISTEM POTENSIAL TANJAK DENGAN PRINSIP VARIASIONAL MENGGUNAKAN FUNGSI COBAAN GAUSSIAN HERMITE. Download -- View

Generalized Linear Dispersion Relation for Symmetrical Directional-coupler of Five-layer Waveguide. Download -- View

Formulasi Analitis Tetapan Propagasi Efektif Modus TE untuk Directional Coupler Linier Diturunkan dengan Metode Matrik Karakteristik Lapis Jamak. Download -- View