Thursday, August 28, 2008

Fenomenal Invention in End the Year 2006

Penemuan yang dimaksudkan pada judul tulisan ini tidak berhubungan dengan tengara polisi akan keterlibatan sindikat narkoba dibalik kematian selebritis Alda Risma. Juga tidak berhubungan dengan pengakuan YZ mantan anggota DPR pusat tentang motif dibalik penyebaran gambar ”mesum hubungan intimnya” dengan penyanyi dangdut ME, apalagi berhubungan dengan nuasa kepuasan mendalam yang tersirat dari wajah beberapa pegawai di salah satu PEMDA di Jawa Barat, manakala mereka beramai-ramai melihat komputer yang memuat gambar ”harta karun” rekan wanita sekantornya.

Esensi penemuan ini justru berkaitan erat dengan upaya mendapatkan formula racikan beberapa bahan kimia kelompok G yang aman dikonsumsi masyarakat, serta teknologi pembuatan chip optik-elektronik yang menjadi pengendali proses penyaluran informasi pada handpone dan pemerosesan data di dalam komputer. Andai mereka sempat merenungkan betapa mulianya tujuan para periset dan pengembang chip yang menjadi otak dari handpone dan komputer itu, barangkali para sindikat narkoba dan penyebar gambar porno akan berpikir dua kali untuk menyalahgunakan kedua produk teknologi tinggi tersebut. Lantas mengapa penyalahgunaan ini sedemikian mudah dilakukan?, para pembaca harap bersabar sejenak, karena penulis akan memaparkan salah satu penyebabnya di akhir tulisan ini.

Penemuan fenomenal yang penulis maksudkan berupa teknik baru pemecahan persamaan diferensial nonlinear. Masyarakat umum tentu awam terhadap istilah persamaan diferensial ini, tetapi penulis juga meyakini bahwa tidak semua mahasiswa dan dosen di perguruan tinggi yang mengenal betul bentuk persamaan diferensial nonlinear tersebut. Hal ini karena materi kuliah di perguruan tinggi umumnya di seputaran persamaan diferensial linear. Karena itu para pembaca pastilah mengira kalau penulispun kebingungan tentang bagaimana cara menyampaikan berita baik ini kepada khalayak, agar penemuan yang menurut keyakinan penulis Insya Allah bakal ”mengibarkan merah putih” di manca negara itu dapat membanggakan siapa saja yang membaca tulisan ini Ibu ibu di rumah tentu lumrah mempraktekkan resep adonan kue yang dibacanya dari sebuah majalah. Menurut resep itu untuk membuat sepotong kue diperlukan sekian gram tepung terigu, sekian gram gula, sekian miligram panili, dan sekian gram kuning telur (ibu-ibu sekalian, di buku pelajaran fisika jumlah gram ini dinamakan massa bukanlah berat seperti yang biasa kita sebut). Kalau jumlah gram tepung terigu, gula, panili dan kuning telur masing-masing dilambangkan dengan u,v,w,x , maka resep kue itu dapat dituliskan dalam sebuah persamaan sederhana y= u + v + w + x . Tetapi kalau ibu-ibu hendak membuka usaha katering kue, maka rumus atau formula resep itu disamping harus memasukkan upah produksi, juga perlu mengoptimalkan komposisi bahan-bahannya, guna meraup keuntungan yang maksimal. Resep kue tersebut sekarang berubah menjadi y = au + bv + cw + dx + e, yang oleh mahasiswa ekonomi dikenal dengan persamaan linear yang mengandung 4 perubah bebas u,v,w, dan x. Tentu formula resep kue yang terakhir ini sudah diluar jangkauan ibu-ibu, karenanya ibu-ibu perlu menyekolahkan salah seorang putra-putrinya ke fakultas ekonomi, untuk mengetahui bagaimana cara mendapatkan angka a,b,c,d, dan e optimal yang akan membuat usaha katering kue tersebut sukses menyedot banyak pelanggan. Lantas dalam bentuk apa persamaan yang notabene menjadi basis sains dan teknologi tinggi itu?

Menurut penulis berkembangnya ilmu pengetahuan modern merupakan perwujudan cara memandang alam sekitar yang ditindaklanjuti dengan upaya menjelaskan keteraturan dan ketidakteraturan peristiwa yang terjadi di dalamnya (ini oleh para fisikawan disebut hukum alam). Dulu ketika di sekolah dasar kita sama-sama pernah diajarkan cara menghitung panjang garis miring segitiga siku-siku dengan dalil phitagoras. Ternyata dalil Phitagoras itu tidak sekedar untuk menghitung panjang ”garing” segitiga siku-siku, melainkan merupakan pembangun tiga fungsi trigonometri fundamental yaitu fungsi sina, cosa, dan tana. Mungkin tidak banyak yang tahu bahwa sesungguhnya hampir semua persoalan kehidupan di dunia ini pada dasarnya dapat ditangani dengan ketiga fungsi penting tersebut, asalkan mereka tahu bagaimana cara menggunakannya. Mengingat demikian pentingnya maka penulis mensketsakan gambar segitiga ”keramat” tersebut di bawah ini lengkap dengan definisi ketiga fungsi fundamental sina, cosa, dan tana

Image


Menurut segitiga di atas, sekecil apapun bertambahnya ti
nggi y selalu diikuti oleh bertambahuya sudut a (perubahan kecil dari nilai y dan a ini masing-masing dilambangkan dengan dy dan da yang lazim dinamakan panjang diferensial). Menurut ilmu matematika hubungan laju atau kecepatan perubahan nilai y terhadap perubahan sudut a tersebut mematuhi persamaan :

Image   ............ (1)

Pangkat 2 di atas y menunjukkan bahwa ternyata hubungan perubahan tinggi benda terhadap perubahan sudut pandang tidak berbanding secara linear, sehingga sifatnya sama sekali berbeda dengan model persamaan linear pada pembuatan kue di atas. Pemecahan Pers.(1) yang dinamakan persamaan diferensial arctan ini menjadi salah satu topik bahasan mata kuliah kalkulus yang diberikan kepada mahasiswa eksakta dan teknik pada semester kedua. Tujuannya adalah menentukan nilai y untuk setiap nilai  yang divariasi. Karena nilai  bebas untuk diubah maka dinamakan perubah atau variabel bebas, sedangkan nilai y sangat tergantung pada nilai  karenanya dinamakan variabel tak bebas yang bertindak sebagai suatu fungsi. Fungsi y yang cocok untuk semua nilai  adalah y() = tan. Kalau hubungan y dan  ini diplotkan dalam sebuah kuva dimulai dari sudut  dari 0o hingga hampir 900 , kurvanya membentuk kurva lengkung transedental mengarah ke nilai y tak berhingga. Hingga saat ini tidak ada komputer canggih manapun yang mampu mengeplotkan kurva y=tan untuk nilai  dari 0o hingga tepat 900, hal ini karena nilai tan(900) =  alias takberhingga. Bila dikaitkan dengan cara pandang mata, maka wajarlah kalau tidak ada satupun manusia di muka bumi ini yang dapat melihat vertikal ke atas sembari wajahnya lurus ke depan, sekalipun dengan mata terbelalak. Sungguh sangat ajaib, ketika angka 1 digantikan dengan , atau 2, apalagi diganti dengan cos, Insya Allah tidak banyak mahasiswa yang bisa mendapatkan bentuk fungsi pemecahannya tanpa bantuan perangkat lunak simbolik, seperti MapleV, Matlab, dan Matematica yang umum beredar di kalangan akademisi. Mengapa? karena pemecahan bentuk persamaan diferensial yang baru ini memang tidak diajarkan pada perkulihaan tingkat sarjana.
Kemudian penulis memperumum bentuk Pers.(1) ke dalam bentuk yang common atau lazim dikenal para matematikiawan sedunia, yakni ke dalam bentuk :

Image ............(2)
dengan variabel bebasnya dilambangkan dengan x, dan mengandung tiga koefisien bebas (nilainya bergantung pada x) yakni P(x), Q(x), dan R(x). Kalau suku pertama pada ruas kanannya dihilangkan maka Pers.(2) berubah ke bentuk persamaan diferensial linear, yang pemecahannya diajarkan pada perkulihan matematika semester ketiga. Tetapi bila Pers.(2) ditulis utuh, maka ia dinamakan persamaan diferensial nonlinear Ricatti. Kalau ketiga koefisien P,Q, dan R bernilai tetap (konstan) atau tidak bergantung pada nilai x, maka pemecahan untuk mendapatkan fungsi y(x) sangat mudah dilakukan, karena setelah dilakukan pemisahan variabel y dan x, maka pemecahan masing masing dapat dilakukan dengan integral. Karena itu persamaan diferensial Ricatti yang berkoefisien konstan termasuk kelompok integrable differential equations, yaitu persamaan diferensial yang bisa diintegralkan. Tetapi begitu koefisiennya tidak konstan seperti bentuk berikut :
Image ..................... (3)

lagi-lagi Insya Allah tidak banyak yang mampu mengeluarkan solusi eksaknya dalam bentuk fornula analitik. Padahal Pers.(3) merupakan persamaan kunci dalam perancangan peralatan elektronik yang biasa dipraktekkan oleh mahasiswa Teknik Elektro. Mahasiswa dan dosen umumnya termanjakan oleh pemakaian program simbolik, lagi pula tanpa rumus analitikpun perancangan alat elektronik tetap berjalan karena solusi Pers.(3) dapat diperoleh secara mudah dengan metode numerik, ibarat pepatah tidak ada rotan akarpun jadi. Disini mereka lupa bahwa kalau formula eksak analitik itu ada ditangan, maka akurasi kinerja peralatan yang dibuatnya dijamin tidak diragukan lagi. Lantas apa hubungannya persamaan diferensial Ricatti ini dengan pengembangan sains dan teknologi tinggi. Menurut literatur matematika terapan, persamaan diferensial Ricatti dalam Pers.(2) merupakan ”ibu” dari persamaan Helmholtz, yang untuk kasus dimensi 1 yaitu mengandung satu variabel bebas x bentuknya adalah :

Image ........................(4)
disini beta adalah tetapan yang nilainya khas atau tertentu untuk setiap fungsi k(x). Perlu pembaca ketahui, Persamaan Helmholtz ini merupakan perangkat matematika atau ”model utama” dalam eksplorasi minyak bumi dan pengembangan chip optik (digunakan baik dalam sistem komunikasi menggunakan serat optik, salah satu komponen penting dalam CCD kamera, dan Handpone multi warna, serta komputer masa depan yang dirancang bakal mampu memproses data secepat kilatan cahaya). Perlu diinformasikan pula, bahwa hingga saat ini persamaan Helmholtz untuk sembarang fungsi k(x) terutama yang berupa fungsi Gaussian Imagebelum berhasil dipecahkan secara eksak dalam bentuk formula analitik. Namun demikian metode numerik yang diprogram dengan komputer dapat menyelesaikannya secara mudah, walaupun hasil perhitungannya masih dalam taraf pendekatan alias belum akurat. Penulis menengarahi kemudahan pemecahan persamaan Helmholtz dengan metode numerik ini turut menjadi penyebab mengapa orang begitu mudah menyalahgunaan produk teknologi tinggi sebagaimana marak terjadi belakangn ini. Penulis menganggap perburuan terhadap metode yang bisa mengeluarkan solusi persamaan Helmholtz secara eksak dalam bentuk analitik tetap belum berhenti, mungkin para ahlinya masih beristirahat sejenak sambil berfikir mau diapakan lagi persamaan diferensial Helmholtz itu. Ini baru untuk kasus satu dimensi apalagi yang mengandung variabel bebas multidimensi, tentu dapat dibayangkan betapa rumitnya bentuk solusi eksak analitiknya.

Sesungguhnya teknologi tinggi saat ini tidak hanya berkutat di sekitar ekplorasi minyak bumi dan cara berkomunikasi yang mudah, efisisen, dan murah. Teknologi tinggi lainnya adalah teknologi pembuatan pesawat terbang dan kapal selam, bahkan teknologi yang berkembang beberapa tahun terahkir mengarah pada perekayasaan material sehingga peralatan elektronik di masa mendatang dapat dibuat berskala atom (berukuran nano meter), sebagaimana yang didengungkan dengan istilah nano technology. Menurut berbagai literatur yang penulis baca, bentuk persamaan diferensial yang secara umum mewakili atau menjadi basis model teknologi yang berkembang saat ini adalah persamaan diferensial nonlinear Bernoulli inhomogen, yang bentuknya adalah :
Image ................(5)

Coba pembaca bandingkan Pers.(2) dengan Pers,(5), ternyata persamaan umum Ricatti merupakan salah satu kelompok dari persamaan Bernoulli inhomogen, tepatnya untuk n=2. Para pembaca sekalian, hal-hal yang tidakpastipun (undeterministic) atau yang lebih dikenal dengan fenomena stokastik juga terwakili oleh persamaan Bernoulli inhomogen, yaitu oleh n=3. Kelihatannya sampai baris ini para pembaca mulai ragu terhadap pernyataan penulis. Apa sulitnya memecahkan Pers.(5) itu, terlebih lagi ia merupakan basis teknologi tinggi. Apakah tidak satu orangpun di Indonesia yang mampu memecahkan persamaan tersebut. Setelah penulis membaca literatur bahwa persamaan Bernoulli untuk n =3 terutama yang f(x) nya berupa fungsi sinusoida seperti susah dipecahkan secara eksak, penulis terlebih dahulu mencoba memecahkannya untuk kasus kedua koefisien p dan Q konstan dengan semua program simbolik yang penulis miliki. Perangkat lunak Matematica yang dibuat Wolfram manusia terjenius saat ini mengeluarkan jawaban : soal anda bukan proses aljabar biasa, MapleV mengeluarkan jawaban no library, sedangkan Matlab tanpa meninggalkan pesan alias langsung heng. Penulis merasa tertantang untuk berupaya mencari tahu apa penyebabnya. Mengapa demikian? karena Pers.(5) terkatagori dalam non-integrable differential equations, yang konon katanya hingga kini masih diburu. Anehnya ketika f(x) dibuang, walaupun kedua koefisien p dan Q tidak konstan serta untuk berapapun nilai n, kecuali Imagepersamaan diferensial ini tetap dapat diintegralkan, yang bentuk solusi eksaknya banyak dijumpai dalam banyak pustaka matematika.
Para pembaca sekalian, penulis terperangkap dalam jebakan persamaan diferensial Bernoulli inhomogen ini sejak bulan mei 2006, hingga merasuk ke dalam lamunan. Namun persamaan Bernoulli ini tidak sampai merasuk ke dalam mimpi, karena sejak saat itu dalam sehari semalam penulis dapat tidur rata-rata hanya dua jam. Barangkali karena upaya ini dilandasi oleh niat tulus untuk mencerdaskan anak bangsa dengan tanpa dukungan dana riset dari manapun, suatu hari penulis mendapat hidayah tentang cara menyelesaikan persamaan diferensial nonlinear tersebut, yang integrable dipecahkan dengan teknik modulasi stabil, sedangkan yang non-integrable dipecahkan dengan metode reversif baru yang sama sekali berbeda dengan metode reversif yang berkembang hingga saat ini. Teknik modulasi stabil pada dasarnya menerapkan proses penumpangan (modulasi) informasi ke dalam penyelesaian persamaan diferensial nonlinear yang terintegrable dalam bentuk formula AF(A), dengan A dan F masing-masing mewakili solusi bagian linear dan solusi bagian nonliner dari persamaan diferensial nonlinear berderajad satu yang hendak diselesaikan. Sedangkan maksud A dalam kurung adalah solusi bagian linear tersebut ditumpangkan ke solusi bagian nonlinear yang sebelumnya telah dituliskan dalam bentuk fungsi gelombang, dengan F adalah fungsi fasanya. Istilah A dan F penulis gunakan untuk menganalogikan bentuk sampul gelombang termodulasi (A=amplitudo dan F=fungsi fasa) dengan solusi persamaan diferensial nonlinear yang terintegrable.
Penemuan kedua metode ini untuk sementara penulis klaim sebagai penemuan yang fenomenal di akhir tahun 2006. Dua buah paper tentang performansi teknik modulasi stabil sudah disampaikan pada even nasional dan internasional (Paper I disampaikan pada simposium nasional Matematika Analisis dan Aplikasinya yang diselenggarakan Jurusan Matematika ITS Surabaya, 10 Agustus 2006, sedangkan Paper ke II disampaikan pada International Conference of Mathematics and Natural Sciences ITB, Bandung, 29-30 Nopember 2006). Saat ini penulis sedang mempersiapkan beberapa paper untuk disubmit langsung ke jurnal matematika (domestik dan manca negara) dan beberapa lagi dipersiapkan untuk koferensi Matematika Terapan di luar negri, salah satunya akan disampaikan pada konferensi ahli matematika untuk Geofisika Universitas Kalsure di Jerman pada bulan Pebruari 2007 mendatang. Kedua metode ini siap untuk diuji oleh para ahli matematika manapun untuk dipertanggung-jawabkan kebenaran ilmiahnya, agar segera bisa digunakan secara resmi oleh mahasiwa-mahasiswa di Indonesia.
Hal lain yang berkenaan dengan kedua metode ini diantaranya :
  • formula AF(A) teknik modulasi stabil (SMT=Stable Modulation Technique) dapat diberikan dalam bentuk diagram yang menjadikannya sebagai teknik pemecah persamaan diferensial nonlinear supercepat
  • dapat menderet takhinggakan fungsi (infinite series of function) tanpa menggunakan deret Maclaurin
  • dapat digunakan untuk membuktikan seluruh integral rumit yang terdaftar di Tabel Mathematical Handbooks of America, Ed. Stegun Abronowics
  • dapat digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial khusus orde 2 seperti Fungsi khusus Bessel, Hermite, Airy, dan teman-temannya tanpa menggunakan deret pangkat (power series) dan atau deret Frobenius
  • salah satu aplikasi penting dari kedua metode ini adalah dapat meningkatkan akurasi perhitungan waktu tiba sinyal gelombang pembawa gempa dan mendeteksi gejala anomali di bawah permukaan bumi
  • solusi analitik Digaram AF(A) SMT ini bisa digunakan oleh para pengguna metode numerik untuk menguji kestabilan solusinya.
Sebagai bukti dari pernyataan point terakhir, penulis tampilkan komparasi hasil perhitungan solusi analitik formula AF(A) terhadap Pers.(3) dengan perhitungan metode Runge-kutha orde 4 yang dilakukan dengan sofware test Matlab versi 6.5. Komparasi hasil perhitungan tersebut ditunjukkan dalam Gambar 2 dan Gambar 3 berikut.

Image

Image

Gambar 2 Komparasi solusi Pers.(3) untuk nilai a=1, b=-0,5, A=5, f=1Hz, dan stepsize

Image

Image

Gambar 3 Komparasi solusi Pers.(3) untuk nilai a=1, b=-1, A=1, f=60 Hz

Para pembaca sekalian, tampak dari Gambar 2 dan Gambar 3 di atas, ternyata solusi metode numerik sangat tergantung pada pemakaian stepsize h. Karena itu para pengguna metode numerik seyogyanya terlebih dahulu melakukan uji kestabilan terhadap metode numerik yang akan digunakan. Jika tidak, maka akurasi solusi numerik tersebut perlu dipertanyakan. Bagaimana para ahli numerik mempertanggungjawabkan solusinya untuk persamaan-persamaan diferensial nonlinear yang solusi eksak analitiknya belum diketahui, Wallahu a’lam.

Semoga tulisan ini bermanfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan di Indonesia terutama untuk meningkatkan kecerdasan anak bangsa.


Salam ....

Rohedi

0 comments:

Another Publication from ROHEDI Laboratory


Penerapan Skema Modulasi Stabil Pada Penyelesaian Persamaan Diferensial Bernoulli. Download -- View

Teknik Menormalisasi Persamaan Relasi Dispersi Pandu Gelombang Slab Berbasis Bahan Optik Linier. Download -- View

Simplified Calculation of Guided Nonlinear Boundary-Wave Parameters Using Optimization Procedure. Download -- View

PERHITUNGAN TENAGA GERAK PARTIKEL DALAM SISTEM POTENSIAL TANJAK DENGAN PRINSIP VARIASIONAL MENGGUNAKAN FUNGSI COBAAN GAUSSIAN HERMITE. Download -- View

Generalized Linear Dispersion Relation for Symmetrical Directional-coupler of Five-layer Waveguide. Download -- View

Formulasi Analitis Tetapan Propagasi Efektif Modus TE untuk Directional Coupler Linier Diturunkan dengan Metode Matrik Karakteristik Lapis Jamak. Download -- View